Actuaría (plan 2006) 2016-1

Sexto Semestre, Procesos Estocásticos

TEMARIO

Tema 1 - Introducción y motivación

1.1 - Definiciones elementales. Ejemplos de procesos estocásticos. Motivación.

1.2 - Tipos de procesos estocásticos. Clasificación general.

Tema 2 - Cadenas de Markov con espacio de estados finito y numerable

2.1 - Definiciones elementales: probabilidades de transición, distribución inicial, matriz de transición. Ejemplos elementales.

2.2 - Distribución conjunta. Ecuaciones de Chapman-Kolmogorov. Comunicación e irreducibilidad. Recurrencia. Distribución invariante.

2.3 - Cadenas especiales: regulares, absorbentes, de nacimiento y muerte, de ramificación.

2.4 - Teoremas de convergencia. Periodicidad. Recurrencia positiva. Teorema fundamental de la convergencia.

Tema 3 - Procesos de Poisson

3.1 - Diferentes definiciones y su equivalencia.

3.2 - Distribuciones asociadas al proceso de Poisson: tiempos de espera, tiempos entre llegadas y condicional de los tiempos de llegada.

3.3 - Generalizaciones del proceso de Poisson: no homogéneo, compuesto y mixto.

3.4 - Nociones generales de cadenas de Markov a tiempo continuo.

Tema 4 - Martingalas en tiempo discreto

4.1 - Definiciones, propiedades y ejemplos.

4.2 - Tiempos de paro. Teorema de paro opcional y aplicaciones.

Tema 5 - Movimiento Browniano

5.1 - Definiciones, construcción y propiedades básicas.

5.2 - Principio de reflexión. Recurrencia y transitoriedad.

5.3 - Ejemplos particulares de movimiento Browniano: puente Browniano, reflejado en el origen, con absorción en el origen y geométrico.

5.4 - Aplicaciones: valuación de opciones, fórmula de Black-Scholes, proceso de Orstein-Uhlenbeck, etc.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

· Caballero, M. E., Rivero, V. M., Uribe, G. y Velarde, C., Cadenas de Markov: un enfoque elemental. Number 29 en Textos. Nivel Medio. SMM, 2004.

· Karlin, S. y Taylor, H., A First Course in Stochastic Processes, New York: Academic, 1975.

· Rincón, L., Introducción a los procesos estocásticos, disponible online: http://lya.fciencias.unam.mx/lars/Publicaciones/procesos2012.pdf

· Ross, S. M., Introduction to probability models. Harcourt/Academic Press, Burlington, MA, seventh edition, 2000.

· Ross, S. M., Stochastic processes. Wiley Series in Probability and Statistics: Probability and Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York, second edition, 1996.

· Taylor, H. y Karlin, S., An introduction to stochastic modeling. Academic Press Inc., Boston, MA, revised edition, 1994.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA:

· Brzezniak, Z.y Zastawniak, T., Basic stochastic processes. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London Ltd., London, 1999.

· Feller, W., An introduction to probability theory and its applications. Vol. I y II. John Wiley & Sons Inc., New York, 1968 y 1971.

· Hoel, P. G., Port, S. C. y Stone, C. J., Introduction to stochastic processes. Houghton Mifflin Co., Boston, Mass., 1972. The Houghton Mifflin. Series in Statistics.

· Karlin, S. y Taylor, H., A Second Course in Stochastic Processes, NY: Academic, 1981.

· Norris, J. R., Markov Chains, Cambridge University Press, Cambridge, 1998.

FORMA DE EVALUACIÓN

La evaluación final se realizará a partir de las evaluaciones de dos bloques: exámenes parciales o finales (60%) y tareas regulares y exposiciones en clase (40%). Más específicamente:

· Exámenes: se realizarán 4 exámenes parciales a lo largo del curso, dos correspondientes a los Temas 1 y 2, uno correspondiente al Tema 3, y otro correspondiente a los Temas 4 y 5. Si se aprueban todos, no es necesario ir al examen final (a no ser que se quiera subir nota). Si reprueban alguno(s) de los parciales, pueden ir al examen final a reponer dicha(s) parte(s) reprobada(s) (o presentarse a toda la asignatura). Sólo habrá un examen final, sin más reposiciones.

· Tareas y exposiciones: se dejarán tareas para casa regularmente a lo largo del curso (entre 5 y 6) a entregar de manera individual. Adicionalmente, por grupos, habrá exposiciones orales en clase de un tema a decidir o de ejercicios de la relación de problemas. La proporción de la evaluación en tareas y exposiciones será de 70-30%, respectivamente.

PÁGINA WEB DE LA ASIGNATURA: http://www.matem.unam.mx/mdi29/docencia.html