Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología Diferencial I

¿Topología? ¿Y aparte Diferencial?

Por más raro/complicado/avanzado que suene el nombre, ésta es una materia de introducción a una vasta área de las Matemáticas. El nombre surge de que en esta área se utiliza principalmente el Cálculo Diferencial para poder decir cosas acerca de la estructura (la topología) de un objeto. Ahora bien, uno de los primeros detalles que debemos ver es a cuàles objetos nos estamos refiriendo. En el caso de este curso, hablaremos de las llamadas variedades diferenciables, que extienden los conceptos de curva y superficie a ambientes más generales. Por supuesto que hay que saber algo de topología para entender lo que se hablará aquí, pero lo visto en los cursos de cálculo me parece suficiiente. De hecho, una de las ventajas visuales de este curso es que podemos trabajar en el espacio euclidiano ("erre ene") y con su topología, ya ampliamente utilizada en cálculo.

Por otro lado, el apellido "Diferencial" hace que surjan aquí otros requisitos para el curso: Haber llevado los cuatro cursos de Cálculo, sobre todo en la parte que se refiere a las cuestiones de la derivada, la diferencial, el teorema de la función inversa, el de la función implícita y cosas relacionadas. Si nos apuramos (gulp), podremos llegar a ver cosas de Cálculo Integral en variedades, pero eso dependerá de cómo vayamos avanzando. Adicionalmente, será bueno que ya hayan cursado Álgebra Lineal y por lo menos un curso de Ecuaciones Diferenciales.

¿La bibliografía? Un texto que a lo mejor algunos ya conocen es el Cálculo en Variedades de Spivak, que es digamos una introducción rápida (para muchos, rapídisima) del citado concepto de variedad. Nuestro texto principal será el libro Topología Diferencial de Guillemin y Pollack, que para mí es una exposición brillante (para algunos, muy novelesca) de la materia. Hay algunos textos de Geometria Diferencial que tienen una buena intersección con el Guillemin-Pollack; de hecho, muchos cursos en diversas universidades se llaman precisamente Geometría y Topología Diferenciales porque ambas materias comparten la base conceptual desde donde arranca cada una de ellas. En esencia, la diferencia es que en Geometría agregamos a las variedades una estructura métrica donde podamos hablar de longitud, áreas y demás, pero en Topología nos quedamos "sólo" con la estructura que nos permite hablar de funciones diferenciables.

En este curso revisaremos temas clásicos como la teoría de grado, la teoría de intersección y otros que podrán ver en el libro, así como algunas aplicaciones sorprendentes. Yo les recomendaría que de una vez vayan leyendo el libro para que vean más en concreto a qué me refiero.

Sobre la forma de calificar: Cada tres o cuatro semanas dejaremos una lista de problemas de la que saldrá cada examen parcial. Insisto: Esa lista no es para entregar, pero es muy conveniente que trabajen los problemas y los traigan ya pensados para el día del parcial. Al final del curso se podrá reponer como máximo UN examen parcial, o bien presentar el examen final. La calificación final será el máximo entre (1) el promedio de los parciales, (2) el promedio de los parciales contando la reposición presentada, (3) la calificación del examen final.

¡Nos veremos pronto!