Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Singularidades y retroacción en el modelado de sistemas biológicos

Alessio Franci ( https://sites.google.com/site/francialessioac )

El presente seminario trata temas avanzados en el modelado de sistemas biológicos. El enfoque es a la vez matemático y filosófico. Se discute el modelado de un sistema biológico apoyando la discusión con herramientas matemáticas rigurosas.

En la primera parte del seminario se estudia parte de la obra de René Thom “Structural Stability and Morphogenesis”, que vincula la teoría de bifurcaciones (catástrofes) y el modelado de sistemas biológicos. Los fundamentos matemáticos asociados a este estudio se construirán sobre desarrollos recientes de la teoría de bifurcaciones a través de la teoría de singularidades (M. Golubitsky).

En la segunda parte del seminario se estudian conceptos básicos de la teoría de control lineal, en particular, el concepto de retroacción, y conceptos básicos de la teoría geometrica de las perturbaciones singulares (N. Fenichel). A través de ejemplos, se estudia como distintos sistemas biológicos se modelan naturalmente como sistemas de retroacción con múltiples escalas temporales.

En la tercera parte se juntan los dos temas abordados previamente. Se estudiarán recientes resultados por el coordinador del seminario que juntan teoría de singularidades, teoría de control y teoría geometrica de las perturbaciones singulares en el modelado de comportamientos neuronales y en la toma de decisión colectiva. Esta ultima parte puede poner las bases para desarrollar tesis de licenciatura, maestría.

Horario

13:00-14:30 martes y jueves.

Requisitos

Ecuaciones diferenciales.

Aconsejados: Geometría diferencial I-II, Geometría Algebraica I.

Temario

I. Sistemas biológicos y singularidades

• Modelado qualitativo y modelado quantitativo [Thom 1989, Capitulo 1].

• Estabilidad estructural [Thom 1989, Capitulo 2].

– Estabilidad estructural y observación científica.

– Estabilidad estructural y modelos.

• Bifurcaciones y universal unfolding [Thom 1989, Capitulo 3].

• Introducción a la teoría de bifurcaciones a través de la teoría de singularidades [Golubitsky 1985,

Capitulo I].

• El recognition problem [Golubitsky 1985, Capitulo II - sin demostraciones].

• La teoría del unfolding [Golubitsky 1985, Capitulo III - sin demostraciones].

• Teorema de clasificacion de las singularidades de codimensión≤ 3 [Golubitsky 1985, Capitulo IV].

• Aplicaciones a los sistemas biológicos: el modelo de Hodgkin-Huxley [Hodgkin 1952, Rinzel 1985] y

la singularidad hysteresis; la toma de decisión colectiva [Couzin 2011] y la singularidad pitchfork.

II. Sistemas biológicos y retroacción multi-escala

• Una introducción a los sistemas dinámicos lineales [Ogata 2001, Capitulos 2 y 3].

• Aplicaciones a los sistemas biológicos 1: el control motor-sensorial como retroacción [Wiener 1965, Introducción y Capitulo IV]; el ciclo celular como retroacción [Goldbeter 1996, Capitulo 10].

• Una introducción a la teoría de las perturbaciones singulares [Jones 1995, Capitulos 1 y 2 - sin

demostraciones].

• Aplicaciones a los sistemas biológicos 2: la dinamica neuronál como retroacción multiescala.

III. Singularidades y retroacción multi-escala en los sistemas biológicos

• Detección empírica de una singularidad winged cusp en el modelo de Hodgkin-Huxley [Drion 2012].

• El bursting neuronal como un attractor a 3 escalas temporales en el universal unfolding de la singularidad winged cusp [Franci 2014a].

• (Optativo) Una teoría para realizar sistemas biológicos en sistemas artificiales 1: bursting [Franci

2014b].

• (Optativo) Una teoría para realizar sistemas biológicos en sistemas artificiales 2: toma de decisión

colectiva [Franci 2015].

Bibliografía esencial

[Thom 1989] R. Thom. Structural stability and morphogenesis. Addison-Wesley, 1989.

[Golubitsky 1985] M. Golubitsky and D. G. Schaeffer. Singularities and Groups in Bifurcation Theory. Springer-

Verlag, 1985.

[Hodgkin 1952] A. Hodgkin and A. Huxley. A quantitative description of membrane current and its application to

conduction and excitation in nerve. J Physiol, 117,1952.

[Rinzel 1985] J. Rinzel. Excitation dynamics: insights from simplified membrane models. Fed Proc, 44, 1985.

[Couzin 2011] I. D. Couzin et al. . Uninformed individuals promote democratic consensus in animal groups. Science,

334(6062), 2011.

[Ogata 2001] K. Ogata. Modern control engineering. Prentice-Hall, 2001.

[Wiener 1965] N. Wiener. Cybernetics: or control and communication in the animal and the machine. 2nd Ed. .

The MIT Press, 1965.

[Goldbeter 1996] A. Goldbeter. Biochemical oscillations and cellular rhythms. Cambridge University Press, 1996.

[Jones 1995] C.K.R. Jones. Geometric singular perturbation theory. In Dynamical systems. Springer Lecture Notes

in Math. 1609, 1995.

[Drion 2012] G. Drion, A. Franci, V. Seutin, and R. Sepulchre. A Novel Phase Portrait for Neuronal Excitability.

PLoS ONE, 7(8), 2012.

[Franci 2014a] A. Franci, G. Drion, R. Sepulchre. Modeling the modulation of neuronal bursting: a singularity

theory approach. SIAM J Appl Dyn Syst, 13(2), 2014.

[Franci 2014b] A. Franci and R. Sepulchre. Realization of nonlinear behaviors from organizing centers. In Proc.

53st. IEEE Conf. Decision Contr., 2014.

[Franci 2015] A. Franci, V. Srivastava, N. E. Leonard. A Realization Theory for Bio-inspired Collective Decision- Making. Preprint: http://arxiv.org/abs/1503.08526.