Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

GEOMETRIA NO-CONMUTATIVA & SIMETRIAS CUANTICAS

Instituto de Matemáticas, Salón 3

Q-ideas

Geometría no-conmutativa (o cuántica), generaliza efectivamente la geometría diferencial clásica y unifica las ideas principales de la geometría clásica y física cuántica, con los métodos del análisis funcional y de las álgebras C*.

Los objetos básicos de la geometría no-conmutativa son espacios cuánticos representados formalmente por ciertas álgebras C* (generalmente no-conmutativas). Los elementos de estas álgebras se interpretan como `funciones' (medibles, continuas, o suaves) sobre espacios cuánticos. Al contrario de los espacios clásicos, los espacios cuánticos generalmente no poseen puntos, y manifiestan ciertas `fluctuaciones cuánticas' en todas las escalas. Todos conceptos fundamentales de la geometría diferencial clásica (como calculo diferencial, integral, metrica, grupos de Lie, haces vectoriales y principales, clases caracteristicas) se generalizan al nivel cuántico.

Quizas una geometría cuántica puede describir correctamente el Espacio-Tiempo en las escalas ultra-pequeñas, definidas por la longitud de Planck, y establecer las bases para resolver problemas fundamentales de fisica de las partículas elementales y teoría cuántica de gravitación (como unificación y coherencia matemática).

También, existen profundos enlaces entre la geometría cuántica, y teoría de números, topología, funciones especiales,y hay diversos ejemplos importantes de los `espacios' que aparecen naturalmente en la geometría clásica, pero se pueden estudiar apropiadamente solo utilizando métodos no-conmutativos (como espacios de orbitas de acciones ergodicas, espacios moduli de teselaciones aperiodicas).

Temas Principales del Curso

• Fundamentos de la geometría no-conmutativa; El concepto del espacio cuántico; Las álgebras C*. Interpretación física en términos de observables y estados.
• Ejemplos de los espacios cuánticos. Grupos de Lie cuánticos. Representaciones. Superficies de Riemann cuánticas. Vínculos entre la teoría de números y objetos cuánticos.
• Métodos diagramaticos; Calculo diferencial sobre espacios cuánticos.
• Haces principales cuánticos. Haces vectoriales cuánticos. Teorías de Yang-Mills. Física en las escalas de Planck. Modelos cuánticos del Espacio-Tiempo.

Bibliografía Básica

• Connes A: Noncommutative Geometry, Academic Press (1994).
• Ðurđevich M: Geometry of Quantum Principal Bundles. Parte I: Commun Math Phys, 175 457-521 (1996). Parte II: Rev Math Phys, 9 (5) 531-603 (1997). Parte III: Algebras, Groups and Geometries, Vol 27, 247-336 (2010).
• Ðurđevich M: Diagrammatic Formulation of Multibraided Quantum Groups, Contemp Math 318, 97-106 (2003).
• Penrose R, Rindler W: Spinors and Space-Time, Cambridge University Press (1988).
• Prugovečki E: Quantum Geometry (A Framework for Quantum General Relativity), Kluwer (1992).
• Sontz S: Principal Bundles-The Quantum Case, Springer-Verlag (2015).
• Wegge-Olsen: K-Theory and C*-Algebras, Oxford Science Publications (1993).
• Woronowicz S L: Compact Matrix Pseudogroups, Commun Math Phys, 111 613-665 (1987).
• Woronowicz S L: Differential Calculus on Compact Matrix Pseudogroups/ Quantum Groups, Commun Math Phys, 122 125-170 (1989).