Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales Parciales I

Requisitos: Cálculo diferencial e integral I-IV y Ecuaciones diferenciales ordinarias I.

Motivación:

• Deducción de las ecuaciones de Navier-Stokes compresibles en 3 dimensiones espaciales (modelos de dinámica de medios continuos).

I. Ecuaciones de primer orden:

• Ejemplos: Modelo del tráfico y crecimiento de poblaciones.
• Existencia local (método de características para ecuaciones lineales, cuasi-lineales y completamente no-lineales).
• Ecuación eikonal y ecuación de Hamilton-Jacobi.
• Introducción a leyes de conservación (soluciones débiles y condiciones de entropía).

II. Ecuación de onda:

• Ecuación de onda en una dimensión espacial (cuerda vibrante, separación de variables, fórmula de D'Alambert, "principio del máximo", problemas de valores en la frontera, principio de Duhamel e identidad de Green-Lagrange).
• Ecuación de onda en d-dimensiones espaciales (campo electromagnético, promedios esféricos, fórmula de Kirchhoff y principio de Huygens, principio del descenso de Hadamard, fórmula de Poisson, principio de Duhamel y unicidad por método de la energía).

III. Ecuaciones elípticas: Laplace, Poisson y Helmholtz:

• Ejemplos: potencial electrostático y configuración de mínima energía de una membrana.
• Propiedades de funciones armónicas ( propiedad de las medias, principio del máximo, desigualdad de Harnack, regularidad y teorema de Weyl).
• Función de Green (fórmula de representación de Green, función de Green para el semi-espacio y función de Green para la bola).
• Principio variacional de Dirichlet.
• Unicidad de problemas no acotados.
• Ecuación biarmónica.
• Separación de variables (ecuación de Laplace y ecuación de Helmholtz)(*)
• Ecuación de Helmhotz y condición de radiación de Sommerfield.
• Teorema de descomposición de Helmholtz (sistemas de divergenia y rotacional, aplicación a la dinámica de fluidos incompresibles).

IV. Transformada de Fourier:

• Propiedades de la tranformada de Fourier.
• Teorema de Convolución.
• Transformada inversa.
• Aplicaciones.

V. Ecuación de calor:

• Conducción de calor.
• Problema de Cauchy (solución fundamental y regularidad).
• Problemas con valores iniciales y de frontera.
• Unicidad por el método de energía.
• Principio del máximo para la ecuación de calor y clase de Tychonov.
• Movimiento browniano (*).

Los temas marcados con (*), se abordarán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Alinhac. Hyperbolic partial differential equations.
• Courant,Hilbert. Methods of mathematical phyisics vol. II.
• Evans. Partial differential equations.
• Folland. Fourier analysis and its applications.
• Han, Lin. Elliptic partial differential equations.
• John. Partial differential equations.
• Jost. Partial differential equations.
• Pinchover, Rubinstein. An introduction to partial differential equations.
• Salsa. Partial differential equations in action.
• Strauss. Partial differential equations: an introduction.
• Tikhonov, Samarski. Ecuaciones de la física matemática.

El curso se evaluará con tareas quincenales que valen el 50% de la calificación final y 5 exámenes parciales que valen el otro 50% de la califación, entre éstos, uno será tarea-examen. El alumno podrá presentar una reposición de un parcial.

Los detalles del temario y la evaluación se discutirán el primer día de clases.

Editado el 05/07/2015.