Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Optativas, Análisis Numérico II

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INTRODUCCION A LA SOLUCIÓN NUMERICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES

El curso de análisis numérico II, según la descripción que aparece en la página de la Facultad, está dedicado a un estudio introductorio de la solución numérica de ecuaciones diferenciales tanto ordinarias como parciales, como es introductorio revisaremos todo lo necesario respecto de la teoría, lo único que se requiere es haber tomado ecuaciones diferenciales I y algebra lineal (No es necesario haber llevado análisis numérico I).

Mucha gente tiene la impresión de que en análisis numérico uno tiene un problema, cuya solución análitica no existe o aún cuando exista no tiene la forma adecuada para trabajar con ella, entonces uno toma un esquema numérico, se programa en una computadora, esta entrega resultados y se acabo. Sin embargo, resulta que en muchas ocasiones los resultados que entrega la computadora son totalmente inútiles ya que no hacen sentido;por lo tanto el objetivo del curso es, además de presentar algunos esquemas numéricos para la solución de ecuaciones diferenciales, aprender a reconocer bajo que condiciones un esquema númerico puede ser útil o completamente inútil.

TEMARIO

El temario se divide en tres partes:

Parte I. Problemas en cálculo diferencial e integral
1. Integración numérica.

1.1. Métodos geométricos.

1.2. Métodos basados en series de Taylor.

1.3. Métodos basados en interpolación.

1.4. Polinomios ortogonales y cuadratura gaussiana

2. Diferenciación numérica.

2.1.Aproximacón de derivadas de primer orden usando diferencias finitas.

2.2. Métodos basados en interpolación.

2.3. Derivadas de orden más alto

2.4. Derivadas multidimensionales.

Parte 2. Problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias
3. Problemas de valor inicial en ecuaciones diferenciales ordinarias.

3.1. Método de Euler.

3.2. Métodos de Runge-Kutta.

3.3. Métodos lineales multipaso y predictor-corrector.
4. Problemas de valor en la frontera en ecuaciones diferenciales ordinarias.
4.1. Métodos basados en diferencias finitas para problemas lineales.

4.1.1. Solución de sistemas tridiagonales.

4.2. Métodos basados en diferencias finitas para problemas no lineales.

4.3. Métodos de disparo.

4.4. Métodos de espacios de funciones.

Parte 3. Problemas en ecuaciones diferenciales parciales
5. Ecuaciones diferenciales parciales de tipo elíptico

5.1. Aproximación de diferencias finitas.

5.2. Elementos de álgebra lineal numérica.

5.3. Análisis de convergencia.

6. Ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico.

6.1. Aproximación de diferencias finitas.

6.2. Análisis de estabilidad.

6.3. Teorema de equivalencia de Lax.

6.4. Problemas multidimensionales.

7. Ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico.

7.1. Problemas de primer orden(la ecuacón de Burger).

7.2. Problemas de segundo orden(la ecuación de onda)

Bibliografía

Existen varios libros que exponen las ideas del curso con diferentes niveles de profundidad, sin embargo yo considero los siguientes muy claros en su presentación.

1. R. Leveque. Finite difference methods for ordinary and partial differential equations, SIAM, 2007.

2. M. Holmes. Introduction to numerical methods in differential equations, Springer Verlag, 2007.

3. A. Iserles. A first course in the numerical analysis of differential equations, Second edition, Cambrigde University Press, 2008.

Programación

Durante el curso se asignaran tareas que involucrarán programación(se utilizara MATLAB que es un software muy amigable).