Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

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PROGRAMA

1. Introducción: insuficiencia de la integral de Riemann, ideas subyacentes a los conceptos de integral, el problema de la medida, conjuntos no medibles.
2. Medida de Lebesgue en R^n.
2.1 Sistemas de conjuntos: Semianillos, anillos y sigma-álgebras; intervalos, rectángulos y paralelepípedos; conjuntos elementales en R^n; sigma-álgebra de Borel.
2.2 Medidas finitas: propiedades, sigma-aditividad, extensión al anillo minimal.
2.3 Extensión de Lebesgue de medidas finitas: medida exterior de Lebesgue, conjuntos medibles y medida de Lebesgue.
2.4 Medidas sigma-finitas: medida de Lebesgue en R^n.
2.5 Propiedades de las medidas: continuidad, completitud, regularidad, invarianza con respecto a traslaciones.
3. Integral de Lebesgue.
3.1 Definición y propiedades: funciones medibles, funciones simples, funciones integrables Lebesgue; propiedades.
3.2 Convergencia: convergencia en casi todo punto, convergencia en medida, convergencia en media; Teorema de Riesz, Teorema de Egorov.
3.3 Teoremas de convergencia: Teorema de la convergencia monótona o de Levi, Lema de Fatou, Teorema de la convergencia dominada de Lebesgue.
3.4 Integral de Riemann e integral de Lebesgue.
3.5 Producto directo de medidas y Teorema de Fubini.
3.6 Teorema de cambio de variable.
4 Continuidad y medibilidad.
4.1 Teorema de Luzin.
4.2 Teorema de diferenciación de Lebesgue.
4.3 Continuidad aproximativa: Teorema de densidad de Lebesgue, Teorema de Denjoy.
5 Aplicación al Análisis armónico.
5.1 El espacio L^2: espacios de Hilbert, desigualdad de Cauchy-Schwarz.
5.2 Series de Fourier: el sistema trigonométrico; sistemas ortonormales, desigualdad de Bessel e identidad de Parseval.

BIBLIOGRAFÍA

M. I. Dyachenko, P. L. Ulyánov; Análisis real: medida en integración, Addison-Wesley/UAM ediciones, 2000.

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin; Introductory Real Analysis, Dover, 1975.

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin; Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover, 1999.
Traducción al español: Elementos de la teoría de funciones y del Análisis funcional, Moscú: Editorial MIR, 1972.

T. Apostol; Análisis matemático, segunda edición, México: Editorial Reverté. 1996.

R. G. Bartle; The elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley & Sons, 1966.

G. B. Folland; Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley & Sons, 1999.

G. Grabinsky; Teoría de la medida, Facultad de ciencias, UNAM, 2012.

P. Halmos; Measure Theory, Van Nostrand, Princeton, N. J., 1950.

W. Rudin; Principles of Mathematical Analysis, tercera edición, McGraw--Hill, 1976.
Traducción al español: Principios de Análisis matemático, segunda edición, México: McGraw--Hill, 1980.