Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

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PROGRAMA

1. Espacios métricos.
1.1 Algunas desigualdades: desigualdades discretas y continuas de Cauchy-Schwarz, de Hölder, de Minkowski...
1.2 Definición y ejemplos: métricas, subespacios métricos, espacios normados, distancias en R^n, espacios de sucesiones, espacios de funciones...
2. Topología de los espacios métricos.
2.1 Convergencia y tipos de puntos: bolas y esferas; puntos interiores, puntos de adherencia, puntos de acumulación, puntos aislados; conjuntos asociados, abiertos y cerrados.
2.2 Densidad y separabilidad: definición y ejemplos.
2.3 Continuidad: aplicaciones continuas y uniformemente continuas, homeomorfismos e isometrías.
3. Completitud.
3.1 Definición y ejemplos: Criterio de Cauchy, Principio de las bolas encajadas.
3.2 Teorema de Baire.
3.3 Teorema de la aplicación contractiva y aplicaciones.
3.4 Completación de espacios.
4. Compacidad.
4.1 Conjuntos acotados y totalmente acotados: distancia a un conjunto y distancia entre conjuntos, diámetro y conjuntos acotados, epsilon-redes y conjuntos totalmente acotados.
4.2 Conjuntos compactos y relativamente compactos: definición, propiedades y caracterizaciones, Teorema de Heine-Borel.
4.3 Aplicaciones continuas sobre compactos.
5. El espacio de las funciones continuas.
5.1 Convergencia uniforme: Criterio de Cauchy, completitud, compatibilidad con la derivación y la integración.
5.2 Compacidad: Teorema de Arzelá y aplicaciones, Teorema de Peano.
5.3 Teorema de aproximación de Weierstrass: separabilidad.
6. Integral de Riemann-Stieltjes.

BIBLIOGRAFÍA

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin; Introductory Real Analysis, Dover, 1975.

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin; Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover, 1999.
Traducción al español: Elementos de la teoría de funciones y del Análisis funcional, Moscú: Editorial MIR, 1972.

T. Apostol; Análisis matemático, segunda edición, México: Editorial Reverté. 1996.

F. Chamizo; Topología, La Topología de segundo no es tan difícil, apuntes de la materia Topología de la Licenciatura en Matemáticas de la Universidad Autónoma de Madrid, 2004.

G. B. Folland; Real Analysis, Modern Techniques and Their Applications, second edition, John Wiley & Sons, 1999.

W. Rudin; Principles of Mathematical Analysis, tercera edición, McGraw--Hill, 1976.
Traducción al español: Principios de Análisis matemático, segunda edición, México: McGraw--Hill, 1980.

W. Rudin; Análisis funcional, Reverté, Barcelona 1979.