Profesor | Nils Heye Ackermann | lu mi vi | 13 a 14 | P201 |
Ayudante | Carlos Samuel Pérez Pérez | ma ju | 13 a 14 | P201 |
Más información en la página del curso.
En el curso Análisis Matemático I generalizamos y profundizamos las nociones presentadas en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral. Introducimos espacios métricos como el ejemplo más útil de espacios topológicos para las metas del análisis matemático. Ellos aparecen como subconjuntos de los espacios Rn y en la forma de espacios normados (una clase de espacios vectoriales topológicos) de series y funciones, de los cuales revisamos varios ejemplos relevantes. Toda la teoría avanzada de ecuaciones diferenciales e integrales, el análisis armónico y mucho de la teoría de la medida está basada en estos conceptos.
Después de tratar con profundidad las nociones de continuidad, compacidad y completitud, mostramos algunos de los teoremas fundamentales del análisis: el teorema de punto fijo de Banach, el teorema de Arzelá-Ascoli y el teorema de aproximación de Weierstrass.
Introducimos de nuevo el concepto de diferenciabilidad, pero en mayor generalidad, permitiendo mapeos entre espacios de Banach (espacios normados completos) de dimensión infinita. Desarrollamos las técnicas de diferenciación y mostramos el teorema de la función implícita. Así presentamos algunos fundamentos del análisis no lineal, es decir, la aplicación del análisis matemático a ecuaciones diferenciales e integrales no lineales.
Definición y ejemplos, espacios normados, espacios de funciones, el espacio de funciones acotadas, subespacios métricos e isometrías
Definiciones y ejemplos, conjuntos abiertos y conjuntos cerrados, convergencia de sucesiones
Conjuntos compactos, el teorema de Heine-Borel, existencia de máximos y mínimos, semicontinuidad, continuidad uniforme
Espacios métricos completos, convergencia uniforme, espacios completos de funciones, series en espacios de Banach
El teorema de punto fijo de Banach, sistemas de ecuaciones lineales, ecuaciones integrales, la ecuación integral de Fredholm del segundo tipo, la ecuación integral de Volterra del segundo tipo, el problema de Cauchy
Conjuntos totalmente acotados, el teorema de Arzelà-Ascoli, el problema de Cauchy, existencia de trayectorias de longitud mínima
El teorema de aproximación de Weierstrass, el teorema de Stone-Weierstrass
El espacio de funciones lineales y continuas, diferenciabilidad, el teorema del valor medio, un criterio de diferenciabilidad, derivadas parciales, derivadas de orden superior, la fórmula de Taylor
El teorema de la función implícita, extremos locales de funciones diferenciables con restricciones, homeomorfismos lineales, demostración del teorema de la función implícita, dependencia de las condiciones iniciales en el problema de Cauchy