Matemáticas (plan 1983) 2016-1

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

Requsitos: Cálculo diferencial e integral I-III y álgebra lineal I.

Motivación:

• Problema de los dos cuerpos
• Problema de la curva braquistócrona
• Modelos de poblaciones
• Decaimiento radiactivo

I. Ecuaciones de primer orden y ecuaciones que se reducen a cuadraturas:

• Ecuaciones separables y teorema de la función implícita.
• Ecuaciones exactas y factores integrantes.
• Ecuaciones lineales de primer orden.
• Cambios de variable.
• Desigualdades diferenciales.
• Introducción a la teoría cualitativa.
• Solución de problemas en física y geometría.
• Ejemplos en economía.

II. Ecuaciones lineales de segundo orden y órdenes mayores:

• Propiedades generales de ecuaciones lineales de segundo orden y estudio de vibraciones mecánicas.
• Propiedades cualitativas (teorema de Sturm).
• Principio del máximo.
• Existencia de soluciones por medio de series de potencias(*).
• Transformada de Laplace.
• Problemas con valores en la frontera y función de Green (*).
• Relación entre ecuaciones de n-ésimo orden y sistemas de ecuaciones diferenciales.

III. Teoría de existencia y unicidad.

• Elementos de análisis en espacios de Banach (espacios normados, completez y teorema del punto fijo de Banach).
• Método de aproximaciones sucesivas de Picard.
• Teorema de existencia local.
• Existencia global.
• Dependencia continua de soluciones respecto a las condiciones iniciales.

IV. Teoría de sistemas lineales de ecuaciones diferenciales ordinarias.

• Sistemas lineales con coeficientes constantes (diagonalización, espacio de operadores lineales y teorema fundamenal de sistemas lineales).
• Propiedades generales de sistemas lineales (matriz fundamental y sistemas lineales inhomogéneos).
• Teoría cualitativa (sistemas autónomos en el plano).
• Estabilidad de soluciones.

V. Introducción a los sistemas no-lineales en el plano.

• Campos vectoriales Hamiltonianos.
• Órbitas periódicas y ciclos límite.

Los temas marcados con (*), aunque son de gran importancia, sólo se impartirán si el tiempo lo permite.

Bibliografía:

• Ahmad, Ambrosetti. A textbook on ordinary differential equations.
• Blanchard, Devaney. Differential equations.
• Boyce, Diprima. Elementary Differential Equations and boundary value problems.
• Braun. Differential equations and their applications.
• Coddington. An introduction to ordinary differential equations.
• Elsgoltz. Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional.
• Hirsch, Smale. Differential equations, dynamical systems and linear algebra.
• Jordan, Smith. Nonlinear ordinary differential equations.
• Kreider. An introduction to linear analysis.
• Marsden. Elementary classical analysis.
• Nagle. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera.
• Perko. Differential equations and dynamical systems.
• Protter, Weinberger. Maximum principles in differential equations.
• Ross. Diferential Equations.
• Simmons. Differential equations with applications and historical notes.
• Soare, Teodorescu. Ordinary differential equations with applications to mechanics.
• Spiegel. Ecuaciones diferenciales aplicadas.
• Teschl. Ordinary differential equations and dynamical systems.

El cuso se evaluará con tareas quincenales que valen el 50% de la calificación y con 6 exámenes parciales que valen el otro 50%. De los exámenes probablemente dos serán tarea-examen.

Habrá tres formas para subir la calificación final:

• una reposición/final (repone sólo un parcial escrito).
• un examen general de conocimientos del curso o
• un examen final

Los detalles del temario y de la evaluación se explicarán el primer día de clases.

Editado el 01/07/2015.