Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2015-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Variable Compleja II

Grupo 4879 7 alumnos.
Salón de seminarios 1 del Instituto de Matemáticas
Profesor Ernesto Rosales González lu ma 8 a 10
Ayudante Miriam Ramírez García ju 8 a 10

 

Horario y evaluación

HORARIO: LUNES, MARTES y JUEVES de 8 a 10 am.

-Inicio del curso: Lunes 26, 8am.

Salón de seminarios 1 del Instituto de Matemáticas.
-De cada PARTE del temario habra listas de problemas para resolver en casa y en sesión de ayudantia
-De cada PARTE habrá al menos un examen parcial
-No habrá reposiciones
-Si hay a lo mas un examen no aprobado y no es el ultimo, el examen de menor calificacion se sustituye por el promedio.
-La calificación final es el nuevo promedio.
-Situaciones excepcionales se considerarán si hay justificación.
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TEMARIO DEL CURSO DE VARIABLE COMPLEJA II
PARTE 1. Consecuencias del Teorema de Cauchy (REPASO):
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0 Números Complejos, funciones conformes, holomorfas, R y C derivadas, primitivas, TFVC, Teorema de Cauchy en regiones Estrella
1 Formula integral de Cauchy de una función holomorfa y de sus derivadas
2 Teorema de las cotas de Cauchy, y deferenciabilidad infinita y analiticidad de funciones holomorfas.
3 Teorema de Liouville
4 Teorema fundamental del algebra.
5 Teorema del modulo máximo
6 Homotopía, Teorema de deformación, regiones simplemente conexas.
7 Teorema de Cauchy para regiones simplemente conexas
8 Series de números complejos, series de funciones de variable compleja y serie de Taylor de una función holomorfa
9 Principio de identidad, Forma Normal local de una funcion holomorfa,
10 Teorema de la Aplicacion Abierta

Ejercicios Parte 1 (repaso del curso de variable I)

EXAMEN 1: Jueves 5 de febrero.
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PARTE 2. Singularidades de funciones holomorfas definidas en discos agujerados D(p,R) y anillos A(p;r,R).
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1 Singularidad aislada (removible, polo y escencial) de funciones holomorfas
2 Serie de Laurent de una funcion holomorfa en un anillo y en un disco agujerado
3 Residuos de una singularidad aislada
4 Teorema del residuo.
5 Aplicaciones al calculo de Integrales indefinidas reales.
6 Principio del argumento y el número de ceros de una función holomorfa en un disco.
7 Indice de una curva cerrada alrededor de un punto, Forma general del principio del argumento.
8 Teorema de Rouche.
9 Forma general del teorema de Cauchy.

Ejercicios Parte 2 (Conway pp 110 y 111: 1-15 en especial 2,6,10,13 // pp 126: 2-10)

Ejercicio de tarea y extensión:

Clasificacion de funciones holomorfas en el disco y continuas en el disco cerrado y f(S^1) \subset S^1

EXAMEN 2: Martes 17 de Marzo
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PARTE 3. Familias de funciones holomorfas definidas en un abierto.
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1 Familia PSL(2,C) de tranformaciones de Möbius. Propiedades analíticas geométricas y dinámicas. Clasificación (REPASO).
2 Familia de tranformaciones de Möbius que dejan invariante un disco.
3 Familia PSL(2,R) de tranformaciones de Möbius en el plano hiperbólico (el semiplano superior).
4 Familias de funciones holomorfas del disco unitario en si mismo, Lema de Schwarz.
5 Compacidad y convergencia en el espacio de funciones holomorfas. Teorema de Weierstrass. Teorema de Hurwitz.
6 Familias normales, equicontinuas de funciones holomorfas, Teorema de Montel.
7 Principio de reflexión de Schwarz para regiones simétricas con respecto a la recta real o con respecto a otro círculo.
EXAMEN
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PARTE 4. Teorema de la Aplicacion de Riemann.
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1 Teorema de la aplicación de Riemann y sus equivalencias. Lema de Koebe.

Ejercicios:

Convergencia de funciones holomorfas con ejercicios pp 146-147

Familias normales y teorema de Montel pp 150-151

Teorema de Riemann pp 159-160

EXAMEN 3: Martes 21 de Abril
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PARTE 5. Productos infinitos y funciones meromorfas.
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1 Productos infinitos. Teorema de factorización de Weierstrass.
2 El espacio de funciones meromorfas. Teorema de Mittag-Leffler.

Ejercicios 1. productos infinitos (Conway pp 169-170)

Ejercicios 2. productos infinitos (extra en construcción)

EXAMEN 4: Martes 19 de mayo de 2015, 8:00 am.

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PARA PROYECTO FINAL a desarrollar para entregar la primera vuelta a mas tardar.
PARTE 6. Continuación analítica Introducción a las superficies de Riemann.
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1 Principio de continuación analítica.
2 Continuación analítica a lo largo de curvas, teorema de monodromía.
3 Superficies de Riemann de algunas funciones elementales: logaritmo, raız n–ésima.
4 Clasificación topologica de superficies compactas orientables y su caracteristica de euler
5 Superficie de Riemann asociada a los ceros de un polinomio en dos variables
6 Formula de Riemann-Hurwitz y sus consecuencias
7 Funciones holomorfas de la esfera en la esfera
8 Funciones Elıpticas
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Bibliografia

J.Marsden; J.Hoffman, "Basic Complex Analysis"
J.Conway "Functions of one comlex variable"
L.Ahlfors, "Complex Analysis"
Otras referencias utiles usadas en el curso
Dold, A. Teoria de Punto Fijo, Monografias del Inst. de Matematicas no 18. Teorema de aproximacion por funciones diferenciables

 


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