Matemáticas (plan 1983) 2015-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología Diferencial I

Manifolds are a bit like pornography: hard to define, but you know one when you see one.

S. Weinberger

Los espacios con los trabajaremos, las llamadas variedades diferenciables, son espacios topológicos que localmente “se parecen” a |R^n y en los cuales podremos extender conceptos del Cálculo Diferencial. Los primeros ejemplos que tenemos son las curvas y superficies de |R^3 con las que trabajamos en Cálculo (o quizá también en Geometría Diferencial, o en Topología Algebráica, o en Ecuaciones Diferenciales Parciales, … ), sin embargo nosotros trabajaremos en el “limbo”, es decir, no dependeremos de un espacio ambiente euclidiano.

El objetivo de este curso es introducir herramientas básicas para el estudio de las variedades diferenciables y probar algunos teoremas interesantes como los siguientes:

Sard: El conjunto de valores críticos de una función diferenciable es “pequeño.”

Poincaré-Hopf : Las esferas no pueden “peinarse” sin dejar remolinos, pero los toros si.

Brouwer: Toda función continua del disco en si mismo tiene al menos un punto fijo.

Borsuk-Ulam: En la Tierra (una esfera de dimensión dos), existen dos puntos, de hecho antipodales, tales que tienen la misma temperatura y presión.

Los requisitos para el curso son relativamente sencillos: Cálculo Vectorial (sobre todo la topología de |R^n y el teorema de la función inversa) y Algebra Lineal. Al principio del curso veremos la herramienta de Topología (sin apellido) que necesitaremos a lo largo del curso.

Temario

0.- Repaso de conceptos de topología general.

Topología y ejemplos

Continuidad y convergencia

Espacios Hausdorff

Bases y numerabilidad

Subespacios, productos, uniones y cocientes

Conexidad

1.- Variedades y funciones diferenciables

Variedades topológicas

Propiedades

Estructuras diferenciables

Variedades con frontera

Funciones diferenciales entre variedades

2.- Vectores tangentes y campos vectoriales

Vectores tangentes

Pushforwards

Coordenadas

Vectores tangentes a curvas

Definiciones alternativas de espacio tangente

El haz tangente

Campos vectoriales en variedades

3.-Submersiones, inmersiones y encajes

Funciones de rango constante

El teorema de la función inversa

Funciones de rango constante entre variedades

Submersiones

Subvariedades encajadas

conjuntos de nivel

Subvariedades inmersas

4.-Teoremas de encaje y aproximación de Whitney

Conjuntos de medida cero y teorema de Sard

Teorema del encaje de Whitney

Teoremas de aproximación de Whitney

5.-Transversalidad e intersección

1-variedades y algunas consecuencias

Transversalidad

Intersección módulo 2

Número de vueltas (winding number) y el teorema de separación de Jordan-Brouwer

Teorema de Borsuk-Ulam

6.-Teoría de intersección orientada

Motivación

Orientación

Número de intersección orientada

Teoría de punto fijo de Lefschetz

Campos vectoriales y el teorema de Poincaré-Hopf

Teorema de grado de Hopf

Característica de Euler y triangulaciones

Bibliografía

1.- Lee, Introduction to Smooth Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2006

2.- Guillemin y Pollack, Differential Topology, Prentice Hall, 1974

Evaluación

Haremos alrededor de cuatro o cinco parciales, una reposición (o dos, en el caso de que hagamos cinco exámenes) y un final.

Cualquier duda o comentario manden un correo a: jaime.santsr@gmail.com o ohmu@ciencias.unam.mx

Tareas

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Tarea 2

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Tarea 4