Matemáticas (plan 1983) 2015-2

Cuarto Semestre, Ecuaciones Diferenciales I

NOTA: Las ayudantías serán los días lunes y jueves.

Reglas del juego (evaluación):

Se dejarán alrededor de 8 tareas y se aplicarán unos 5 exámenes parciales.

Habrá tareas de cómputo opcionales, para incrementar promedio de tareas.

Calificación final = exámenes 60 % + tareas 40 %.

Se podrán reponer hasta dos examenes parciales; y se aprueba con todos los examenes aprobados. Se vale presentar reposición para incrementar calificación.

Temario:

1. Ecuaciones de primer orden

[2 exámenes]

Introducción al tema. Origen y evolución histórica y su relación con el Cálculo. Nociones básicas y nomenclatura.

Ecuaciones lineales: homogéneas y no homogéneas (variación de parámetros). Superposición de soluciones.

Ecuaciones no lineales: ecuaciones separables, exactas, factor integrante, ecuación de Bernoulli, ecuación de Riccati.

Métodos geométricos: isóclinas, campo vectorial, familias de curvas paramétricas. Soluciones de equilibrio, líneas fase y bifurcaciones. Ecuaciones autónomas.

Teorema de existencia y unicidad, su importancia y su aplicación. Problema de Cauchy. Iterados de Picard.

2. Ecuaciones de segundo orden

[1 examen]

Ecuaciones homogéneas lineales con coeficientes constantes.

Propiedades del conjunto de soluciones, independencia lineal, wronskiano, solución general.

Plano fase y soluciones de la ecuación característica (raíces reales distintas, repetidas y complejas). Equivalencia a un sistema de ecuaciones.

Reducción de orden. Ecuaciones no homogéneas: método de variación de parámetros.

Método de soluciones particulares: no homogeneidad polinomial, exponencial, trigonométrica.

Aplicaciones: vibraciones mecánicas: (resortes, péndulo), osciladores (libres, amortiguados, forzados). Resonancias, modulaciones, amortiguamiento.

Teorema de existencia y unicidad.

3. Sistemas lineales

[1 examen]

Reducción de una ecuación de orden n para llevarla a un sistema de n ecuaciones de primer orden. Estructura algebraica.

Sistemas homogéneos con coeficientes constantes: soluciones linealmente independientes. Solución particular. Algunas propiedades de álgebra lineal.

Caso de coeficientes constantes: exponencial de una matriz, eigenvalores, eigenvectores, uso de la forma de Jordan.

Conjunto fundamental de soluciones, matriz fundamental y solución general. Sistemas no homogéneos. Variación de parámetros.

Teorema de existencia y unicidad de las soluciones (generalización).

Algunas aplicaciones y modelos.

4. Introducción a la teoría cualitativa

[1 examen]

Estabilidad de sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes. Plano fase, clasificación de puntos de equilibrio.

Estabilidad lineal cerca de un punto de equilibrio.

Linealización de puntos de equilibrio de sistemas no lineales, estudio de la estabilidad. Sistemas planos.

Algunas perspectivas.

Bibliografía

Blanchard, P., Devaney, R., Hall, G. Ecuaciones diferenciales. International Thomson Editores, 1998. Temas 1, 3 y 4.

Braun, M., Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones. Temas 1, 2 y 3.

Boyce-Di Prima, Ecuaciones diferenciales con problemas en la frontera. Temas 1, 2 y 3.

Kisielov, A. Krasnov, M, Makarenko, G. Problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Mir, Moscú, 1968. Temas 1, 2.

Elsgoltz, L. Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional. Mir, Moscú, 1969. Temas 1-4.

Ross, S. L. Differential equations. John Wiley & Sons, 1984. Temas 1, 2 y 3.

Zill, D. G. Ecuaciones Diferenciales (con aplicaciones de modelado). 6ª edición. International Thomson Editores, 1997. Temas 1, 2 y 3.

Arnold I. V. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Temas 1-4.

Hirsch, M. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Temas 3 y 4.

Strogatz, S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering. Cambridge, 1994. Temas 3 y 4.

Brauer, F., Nohel, J. A. The Qualitative Theory of Ordinary Differential Equations: An Introduction. Dover, New York, 1989. Temas 3 y 4.

El sitio web donde estarán alojadas las tareas, avisos y material adicional.