Matemáticas (plan 1983) 2015-2

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

PROGRAMA

Repaso de temas fundamentales de Cálculo I

Revisión de los conceptos de límite y continuidad de funciones. Algunos teoremas importantes. La derivada de una función. Derivabilidad y continuidad. Regla de la cadena. Derivadas de funciones inversas. Funciones inversas y sus derivadas. Diferencial de una función. Ejemplos. Puntos críticos. Teorema de Rolle y teorema del Valor Medio. Concavidad de funciones. Máximos, mínimos y puntos de inflexión, Asíntotas, Teoremas de L´Hopital. Polinomios de Taylor. Residuo de Lagrange. Primitiva de una función.

Las funciones log y exp. Construcción de la función logaritmo. Cálculo aproximado de algunos logaritmos. La función exponencial. Otras bases. Derivadas de las funciones exponenciales. Derivación logarítmica

Funciones hiperbólicas y sus derivadas. Propiedades de las funciones hiperbólicas. Funciones hiperbólicas inversas. Derivadas de las funciones hiperbólicas y de sus inversas. Límites de algunas funciones especiales.

Sucesiones y series. Definición de sucesión Operaciones con sucesiones. Subsucesiones. Sucesiones constantes, sucesiones monótonas crecientes y decrecientes, sucesiones acotadas. Convergencia de sucesiones. Sucesiones divergentes. Resultados sobre sucesiones convergentes. Criterios para la convergencia de sucesiones. Sucesiones de Cauchy. Series. Operaciones con series. Subseries y rearreglos de una serie. Series convergentes y series divergentes. Series de términos no negativos. Series alternantes. Series absolutamente convergentes. Criterios para la convergencia de series. Series en forma telescópica.

Integración. Área bajo la gráfica de una función. La integral de Riemann. Propiedades de la integral definida. Ejemplos de funciones integrables. El Teorema Fundamental del Cálculo. Sumas inferiores y superiores. Integrabilidad de las funciones continuas. Continuidad uniforme. La integral como función de su límite superior Unicidad de la integral. Consecuencias del Teorema Fundamental del Cálculo. El Teorema del Valor Medio para integrales. Integrales impropias. Convergencia de las integrales impropias. Criterio de la integral para la convergencia de series.

Métodos de integración. Integrales inmediatas. Integración por partes. Fórmula de Taylor con residuo en forma de integral. Integración por sustitución o cambio de variable. Integración por sustitución trigonométrica. Integración de funciones racionales. Métodos de Euler.

Aplicaciones de la integral. Área. Propiedades. El área entre dos gráficas. Volumen. Paradoja de Banach-Tarski. Propiedades del volumen. Sólidos de revolución Volumen de un sólido de revolución, método de los discos, método de los casquillos. Longitud de arco. Longitud de arco en forma paramétrica. Área de una superficie. Área de una superficie de revolución. Valor promedio de una función. Momentos: caso finito y caso continuo. Trabajo, trabajo desarrollado al comprimir un gas. Teorema de Pappus.

Integración numérica. Integración por rectángulos. Integración por trapecios. Integración por trapecios parabólicos. Polinomios de Taylor e Integración numérica.

Bibliografía

Arizmendi-Carrillo-Lara. Cálculo. Serie textos de nivel Elemental. Ed. Instituto de Matemáticas. UNAM. .

Courant-John. Introduction to Calculus and Analysis. Ed. Wiley.

Boyce-diPrima. Cálculo. CECSA

Spivak. Calculus. Reverté

EJERCICIOS

1. Guía de Repaso Cálculo I.

2. Guía Función Exponencial / Logaritmo.

3. Guía Sucesiones / Series.

4. Guía Integración.

5. Guía Métodos de Integración.

6. Guía Aplicaciones de la Integral.

7. Guía Series de Potencias.

EXÁMENES

1. Tarea-Examen 1. Se entrega el viernes, 13 de febrero a las 9.00 am en punto en el salón de clases. NO SE ACEPTARÁN TAREAS DESPUÉS DE ESA HORA.

2. Tarea-Examen 1 (REPOSICIÓN). Se entrega el viernes, 27 de febrero a las 9.00 am en punto en el salón de clases. NO SE ACEPTARÁN TAREAS DESPUÉS DE ESA HORA. La entrega es OPCIONAL.

3. Tarea-Examen 2. Se entrega el viernes, 27 de febrero a las 9.00 am en punto en el salón de clases. NO SE ACEPTARÁN TAREAS DESPUÉS DE ESA HORA.

4. Tarea-Examen 3. Se entrega el viernes, 27 de marzo a las 9.00 am en punto en el salón de clases. NO SE ACEPTARÁN TAREAS DESPUÉS DE ESA HORA.

5. Examen 4. Será presencial. El sábado, 25 de abril a las 10.00 am en el salón de clases.

6. Examen 5. Será presencial. El jueves, 14 de mayo a las 9.00 am en el salón de clases.

7. Examen 4 (REPOSICIÓN). Será presencial. El miércoles, 20 de mayo a las 9.00 am en el salón de clases.

Primera Vuelta de Final: Será presencial. El miércoles, 27 de mayo a las 9.00 am en el salón de clases.

Segunda Vuelta de Final: Será presencial. El miércoles, 3 de junio a las 9.00 am en el salón de clases.