Encabezado Facultad de Ciencias
Presentación

Matemáticas (plan 1983) 2015-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Grupo 4315 6 alumnos.
Modelos matemáticos y medicina
Se impartirá de 13:00 a 14:00 hrs.
Profesor Jesús López Estrada
Ayudante Louis David Bretón Tenorio

 
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias-UANAM
Semestre 2015-1
Curso optativo:
SEMINARIO DE MATEMÁTICAS APLICADAS I
(Modelos matemáticos y Medicina)
Profesor:
Jesús López Estrada
jelpze@hotmail.com
jele@matematicas.unam.mx
Requisitos: Algebra lineal II, Ecuaciones diferenciales ordinarias I, Análisis numérico I. Deseable,
aunque no indespensable: Ecuaciones diferenciales ordinarias II y Ecuaciones diferenciales parciales I.
Objetivo: Introducir al estudiante, desde el punto de vista de la Computación Científica, al desarrollo
de modelos matemáticos en temas de vital interés en Medicina: Dinámica de enfermedades virales
(Hepatitis C y VIH), Epidemiología (Influenzas, obesidad y diabetes) y dinámica de enfermedades
crónico degenerativas (Detección temprana de Diabetes y Diagnóstico temprano de estenosis en
coronarias o Prevención temprana de infartos al miocardio, entre otros).
Calificación: Promedio general de tareas, más promedio general de exámenes parciales, más
promedio general de reportes de prácticas de laboratorio, más calificación de trabajo de curso
(proyecto de investigación), entre cuatro.
PROGRAMA
PARTE I. Introducción a la Modelación Matemática
1. Introducción al Cómputo Científico 1ª y 2ª semana
Objetivo: Introducir al estudiante a los aspecto básicos involuncradas en la Mode-
lación matemática desde el punto de vista de la Computación Científica (CC).
1.1 El mundo de la Computación Científica.
1.2 CC y Modelación Matemática.
1.3 Errores en la CC: de modelación, observación o medición, aproximación o
truncamiento, y de cálculo numérico en Aritmética de Punto Flotante.
1.4 Importancia del concepto de Problema Bien-planteado a la Hadamard en la CC.
1.5 Breve introducción a los Problemas inversos.
1.6 Proyecto: Cálculo de la superficie de la tierra.
Referencias: The World of Scientific Computing, Cap.1 en [GO] y Scientific
Computing, Cap.1 en [He].
2. Algunos antecedentes básicos 3ª, 4ª y 5ª semanas
Objetivos: Repasar aspectos básicos de EDOs, estimación nolineal de parámetros
y estimación de parámetros en EDO's.
2.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden (ecuaciones de varibles separadas y
homogéneas). Movimiento armónico simple y péndulo matemático.
2.2 Repaso de la teoría básica de existencia y unicidad para el problema de Cauchy
de EDOs (Existencia y unicidad, dependencia continua de la solución respecto a
Condiciones Iniciales y parámetros).
2.3 Estabilidad a la Lyapunov (Método de Lyapunov y Lyapunov-La Salle).
2.4 Estimación de parámetros nolineales.
2.5 A premier para la estimación de parámetros en EDO's.
Referencias: Cap. 8 en [Ba] y [EW].
3. Modelación matemática y dinámica de poblaciones 6ª semana
Obljetivo: Introducir al estudiante a la modelación matemática en la dinámica de
poblaciones y a nociones preliminares del estudio cualitativo de las Ecuaciones
Diferenciales Ordinarias (EDO's) que tienen lugar en la dinámica -de una y dos-
poblaciones.
3.1 Modelos de Malthius y Verhulst.
3.2 Dinámica de dos poblaciones: Competencia y depredador-presa.
3.3 Proyecto: Determinación de la población de saturación en México de individuos
infectados por VIH/SIDA (Una aplicación de la estimación de parámetros para la
Ecuación Logística).
Referencias: Caps. 3 y 7 en [dV] y Caps 1, 5 y 7 en [Mo].
PARTE II. Dinámica de enfermedades virales
4. Nociones básicas sobre enfermedades virales 7ª semana
Objetivo: Introducir al estudiante a las nociones básicas de las enfermedades virales
y respuesta inmune.
4.1 Antígenos (virus, bacterias, protozuarios y otros).
4.2 Respuesta inmune.
4.3 Modelo básico de la dinámica viral.
Bibliografía: Cap. 1 en [NM], artículos 2 y 16 en [SA], Cap. 1 en [Ma],
Caps. 1, 2 y 4 en [Ak], y [Pe].
5. Dinámica de la hepatitis C 8ª y 9ª semanas
Objetivo: Introducir al estudiante a la modelación y estudio de la dinámica
de la Hepatitis C y VIH/SIDA. Planteamiento, por parte del sector médico, de
problemas de interés concreto.
5.1 Descubrimiento.
5.2 Aspectos básicos sobre el Virus de la Hepatitis C (VHC).
5.3 Tratamiento.
5.4 Modelo básico de tres poblaciones: su estudio cualitativo e implicaciones
5.4 Respuesta inmune y modelos de cuatro poblaciones: su estudio cualitativo
e implicaciones.
5.5 Proyecto: Pronóstico de respuesta al tratamiento.
Bibliografía: Cap. 2 y 5 en [Mk], Cap. 5 en [NM], Cap 4 en [Ak], [AL], [AE], [AF], [PN],
y [RL].
6. Dinámica del VIH/SIDA. 9ª y 10ª semanas
Objetivo: Introducir al estudiante a la modelación y estudio de la dinámica
del VIH/SIDA. Planteamiento, por parte del sector médico, de
problemas de interés concreto.
6.1 Descubrimiento.
6.2 Aspectos básicos sobre el VIH.
6.3 Tratamiento.
6.4 Modelo básico de tres y cuatro poblaciones: su estudio cualitativo e
implicaciones.
6.4 Respuesta inmune y modelos de cuatro poblaciones: su estudio
cualitativo e implicaciones.
6.5 Proyecto: Diagnóstico de daño en ganglios sin biopsias.
Bibliografía: Cap. 2, 4 y 6 en [NM], 4 y 5 en [Ak] y [PN].
PARTE III. Epidemilogía
7. Nociones básicas de Epidemiología Matemática 11ª y 12ª semanas
Objetivo: Introducir al estudiante al estudio de posibles brotes epidemiológicos de
Influenzas bajo políticas de profilácticas para su control, de pronósticos de
explosión demográfica de la obesidad y de la diabetes.
7.1 Historia.
7.2 Origenes e impacto económico-social de las Influenzas.
7.3 Modelos compartamentales: Modelo de Kermack-McKendrick.
7.4 Estrategías de control epidémico (vacunación, cuarentena, aislamiento).
7.5 Epidemías estacionales.
7.6 Vacunación y tratamiento con antivirales.
7.7 Inmunidad cruzada y curentena.
7.8 Proyectos: (1) Evaluación de la eficacia de las medidas profilápticas tomadas
por las autoridades del sector salud durante la epidemia en
primavera de 2009 de la influenza A/H1N1 en la Cd. de México;
(2) Pronóstico de explosión demográfica de la obesidad en México; y
(3) Pronóstico de explosión demográfica de la diabetes en México.
Bibliografía: Caps. 2,5,12 y 13 en [BD] y [CD]
PARTE IV. Dinámica de enfermedades crónico degenerativas
8. Dinámica de la Diabetes 13ª y 14ª semanas
Objetivo: Introdución a la endocrinología matemática.
Plan de actividades por desarrollar.
Proyecto: Detección temprana de la diabetes.
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PARTE V*. Bio-mecánica
9. Detección temprana de estenosis en coronarias 15ª semana
Objetivo: Presentación de un proyecto en desartrollo de grandes repercuciones
sociales y económicas.
9.1 Relevancia y planteamiento del Problema.
9.2 Desarrollo del modelo:
9.2.1 Hipótesis de modelación
9.2.2 Ecuación de continuidad para la masa
9.2.3 Ecuación de balance de momentos
9.2.4 Ecuación no-lineal de la elasticidad.
9.3 Ecuación constitutiva para biotejidos.
9.4 Condiciones iniciales y de frontera.
9.5 El problema como un problema inverso.
Bibliografía: [BB], [BL] y [BS].
PARTE VI. Exposición de trabajos de curso. 15ª y 16º semanas
Objetivo: Presentación por los estudiantes de sus trabajos de curso.
BIBLIOGRAFÍA
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