Matemáticas (plan 1983) 2015-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

Disfruta y aprende algunas nociones básicas, indispensables para la investigación en la Geometría Hiperbólica (Analítica), esta espectacular rama tiene una profunda relación con muchas áreas de la matemática, algunas de ellas son:

a) Variable Compleja (superficies de Riemann, transformaciones de Mobius),

b) Álgebra ( PSL(2,C) y sus subgrupos discretos, álgebra de cuaternios),

c) Geometría (teselaciones),

d) Fractales (conjuntos límite de grupos kleinianos),

e) Relatividad (Lorentz isomorfo a PSL(2,C) )

f) Teoría de números (subgrupos modulares)

g)Topología (3-variedades hiperbólicas)

TEMARIO:

1.TRANSFORMACIONES DE MOBIUS. Proyección estereográfica,métrica cordal, transformaciones de Möbius,(PSL(2,C), propiedades, clasificación y geometría, biyecciones meromorfas y conformes de la esfera en la esfera, transformaciones que preservan "discos", PSL(2,R), M($\Delta$),multiplicadores, puntos fijos, clasificación por la traza. Densidades, métrica hiperbólica del semiplano y del disco de Poincaré, fórmulas de distancia, geodésicas, círculos, paralelismo, ejemplos. Grupos generados por reflexiones, grupo general de Möbius grupo de todas las isometrías, haces de geodésicas y haz ortogonal, breve introducción a la geometría hiperbólica tridimensional.

2.DISCONTINUIDAD, GRUPOS FUCHSIANOS. Conmutatividad y puntos fijos en PSL(2,C), discontinuidad, conjunto límite y ordinario, propiedades de conjugación e invariabilidad, el grupo clásico modular, subgrupos principales de congruencias, grupos discretos, relación discreto-discontinuo, dominio de discontinuidad para subgrupos discretos de PSL(2,R), grupo abeliano implica cíclico, criterios de discrecionalidad, grupos estabilizadores, grupos fuchsianos, grupos horocíclicos, grupos normales de horocíclicos son horocíclicos, grupos normalizadores, grupos puramente hiperbólicos, teorema de Siegel, Lauritzen. Conjunto límite de un grupo fuchsiano, propiedades: cerrado, perfecto, acumulación de casi todas las órbitas,en ninguna parte denso o toda la recta. Conjunto derivado, grupos elementales y no elementales,otras caracterizaciones del conjunto límite: cerradura de los puntos fijos hiperbólicos o parabólicos.

3.REGIONES FUNDAMENTALES. Conjunto fundamental, región fundamental, ejemplos, área hiperbólica, invariabilidad bajo PSL(2,R), bisector perpendicular = puntos equidistantes, h-convexidad, Construcción del polígono de Dirichlety prueba de que éste es una región fundamental localmente finita,polígonos de Dirichlet de grupos cíclicos. Polígono de Ford, círculos isométricos, prueba de que el polígono de Ford es una región fundamental, región de Ford-Dirichlet para el grupo modular, otros ejemplos de regiones fundamentales para subgrupos modulares.

Texto: “Una introducción a la geometría hiperbólica bidimensional´´ Antonio Lascurain Orive,Facultad de Ciencias.UNAM, 2005.

Bibliografía Complementaria:

J. Lehner“A Short Course in Automorphic Functions”.Holt, Rinehart and Winston. 1966.

A. Beardon "The Geometry of Discrete Groups" GTM, Springer-Verlag. 1983,1995

B. Maskit " Kleinian Groups", Springer Verlag. 1987

J. Ratcliffe "Foundations of Hyperbolic Manifolds" GTM, Springer Verlag.,1995.

D. Munford, C. Series y D. Wright "Indras Pearl´s, Cambridge University Press, 2002.

REQUISITO:VARIABLE COMPLEJA I. o llevarla de manera simultánea

Horario Lu a Vi, 13 a 14 horas salón P 204

Dr. Antonio Lascurain, cubículo 233, Departamento de Matemáticas.