Matemáticas (plan 1983) 2015-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

1. Propiedades algebraicas, topologicas, metricas y geometricas del plano euclideano y R^2 ~ numeros complejos (multiplicacion compleja en R^2).

Aplicaciones continuas, diferenciables (repaso)

2. Germenes de aplicaciones conformes.

3. Condiciones de Cauchy Riemann de aplicaciones diferenciables

4. Aplicaciones complejo diferenciables en un punto y las condiciones de Cauchy Riemann. Funciones holomorfas.

5. Primitivas de aplicaciones continuas en abiertos del plano complejo, integral compleja de una aplicación continua y "teorema fundamental de la variable compleja"

6. Calculo de integrales de funciones de variable compleja

7. Teorema de Cauchy-Goursat (para discos y regiones estrella).

8. Consecuencias del Teorema de Cauchy-Goursat:

a. Formula integral de Cauchy de una función de variable compleja y de sus derivadas, diferenciabilidad infinita de una funcion holomorfa.

b. Teorema de las cotas de Cauchy,

c. Serie de Taylor de una función holomorfa

d. Teorema del modulo máximo.

e. Homotopia y Teorema de deformacion

f. Teorema de Cauchy para regiones simplemente conexas

9. Funciones holomorfas en anillos

10. Singularidad aislada (removible, polo y escencial) de funciones holomorfas

11. Serie de Laurent de una funcion holomorfa en un anillo.

12. Residuos de una singularidad aislada.

13. ...

Bibliografia

J.Marsden; J.Hoffman, "Basic Complex Analysis"

J.Conway "Functions of one comlex variable"