Matemáticas (plan 1983) 2015-1

Quinto Semestre, Análisis Matemático I

Contenido:

• Capítulos 1 al 10 de las notas Análisis Matemático I por Mónica Clapp, en https://piazza.com/unam.mx/fall2015/anlisismatemticoi/home

Temario:

1. Espacios métricos. Definición y ejemplos. Espacios de funciones. Subespacios métricos e isometrías.

2. Continuidad. Definición y ejemplos. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados. Convergencia de sucesiones y continuidad.

3. Compacidad. Definición y propiedades. El teorema de Heine-Borel. Existencia de máximos y mínimos. Continuidad uniforme.

4. Completitud. Definición. Espacios de Banach. Convergencia uniforme. Espacios completos de funciones. Series de funciones.

5. El teorema de punto fijo de Banach. El método de aproximaciones sucesivas. Aplicaciones a la solución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones integrales de Fredholm y de Volterra, y del problema de Cauchy.

6. Compacidad en espacios de funciones. Conjuntos totalmente acotados. El teorema de Arzelà-Ascoli. El teorema de Cauchy-Peano. Semicontinuidad. Existencia de trayectorias geodésicas en espacios métricos.

7. Aproximación de funciones continuas. Espacios separables. El teorema de Stone-Weierstraß.

8. Diferenciabilidad en espacios de Banach. Definición y propiedades de la derivada. El dual topológico. Derivadas de orden superior. Expansión de Taylor.

9. Teoremas de la función implícita y de la función inversa. Extremos de funciones con restricciones. Multiplicadores de Lagrange.