Matemáticas (plan 1983) 2014-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología B

DESCRIPCION.

Se sabe que un intervalo puede "llenar continuamente" un cuadrado, es decir, existe una función continua y suprayectiva f:[0,1]--> [0,1] x [0,1]. Similarmente, un intervalo puede "llenar continuamente" un cubo, un toro sólido e incluso un cubo de Hilbert, pero puede "llenar continuamente" muchos espacios más. El primer tema que se verá en el curso es el Teorema de Hahn-Mazurkiewicz, el cual dice que cualquier espacio métrico, compacto, conexo y localmente conexo es imagen continua del intervalo [0,1]. Con herramientas similares se puede probar que cualquier espacio métrico y compacto es imagen continua del conjunto de Cantor.

Como los espacios métricos, compactos y conexos (llamados continuos) resultan ser relevantes, dedicaremos este curso a estudiarlos. En ellos estudiaremos los puntos de corte y propiedades como la irreducibilidad y la indescomponibilidad. Posteriormente introduciremos los hiperespacios (cuyos elementos son subconjuntos de un continuo), los cuales nos darán mucha información sobre los continuos y viceversa.

TEMARIO.

1. El Teorema de Hahn-Mazurkiewicz

1.1 La propiedad S

1.2 Teorema de la función general

1.3 Teorema de Hahn-Mazurkiewicz

2. Cuatro caracterizaciones importantes

2.1 Conexidad local por trayectorias, conexidad local hereditaria y regularidad

2.3 Cuatro caracterizaciones importantes en terminos de puntos de corte

3. Irreducibilidad e indescomponibilidad

3.1 Composantes

3.2 Irreducibilidad

3.3 Indescomponibilidad

4. Hiperespacios

4.1 Introduccion a hiperespacios

4.2 Continuos de convergencia

4.3 Funciones de Whitney

5. Propiedad de Kelley

5.1 Existencia de triodos

5.2 Densidad

5.3 Imagenes continuas

5.4 Compactaciones del rayo.

BIBLIOGRAFIA.

1. A. Illanes, Hiperespacios de Continuos, Aportaciones Matemáticas, Serie Textos, 28, Sociedad Matemática Mexicana, 2004.

2. A. Illanes y S. B. Nadler, Jr., Hyperspaces: Fundamentals and Recent Advances, Monographs and Texbooks in pure and Applied Math., Vol. 216, Marcel Dekker, New York, Basel, 1999.

3. J. L. Kelley, Hyperspaces of a continuum, Trans. Amer. Math. Soc., 52 (1942), 22-36.

5. S. B. Nadler, Jr., Hyperspaces of sets, Monographs and Texbooks in pure and Applied Math., Vol. 49, Marcel Dekker, New York, Basel, 1978.

6. S. B. Nadler, Jr., Continuum theory: an Introduction, Lecture notes in pure and applied mathematics, vol. 158, Marcel Dekker, Inc., New York and Basel, 1992.