Matemáticas (plan 1983) 2014-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias III.

Lunes a viernes de 8 a 9 am. Salón de seminarios Salicrup del Instituto de Matemáticas.

El estudio de las ecuaciones diferenciales desde un punto de vista geométrico tuvo sus orígenes con los trabajos de Henri Poincaré. Este giro en el análisis de las ecuaciones diferenciales dió un impulso insospechado al estudio no sólo de las ecuaciones mismmas sino a otras áreas de las matemáticas. Una de las muchas ideas introducidas y desarrolladas por Poincaré se basó en encontrar formas de clasificar las ecuaciones diferenciales buscando, por una parte, invariantes de clasificación (formal, analítica y topológica), y por otra, las obstrucciones que pueden surgir para que una ecuación tenga un invariante deseado. Estos razonamientos los realizó analizando las ecuaciones desde el punto de vista de la variable compleja por lo que las soluciones de las ecuaciones ya no son curvas reales sino superficies. Esto, como puede esperarse, expandió en forma notable la riqueza los alcances de la teoría.

El curso estará enfocado seguir lugares clave del razonamiento introducido por Poincaré; por consiguiente, nos centraremos en el al análisis de campos vectoriales analíticos reales y complejos. En el inicio del curso se demostrarán dos teoremas fundamentales (de Poincaré y de Poincaré-Dulac) sobre la linealización formal y analítica de campos vectoriales y difeomorfismos. Así mismo, se verá la geometría de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con tiempo complejo.

Cuando las ecuaciones diferenciales no tienen parte lineal (es decir, la parte lineal es cero) se requiere introducir una nueva técnica: la explosión o resolución de singularidades (“blow-up”). Esta técnica permite analizar aquellas ecuaciones para las cuales los resultados introducidos por Poincaré no pueden ser usados. La técnica por sí misma introduce una gran cantidad de elementos geométricos nuevos que veremos con cierto detalle.

En particular se verán los siguientes temas:

-Formas normales formales de campos vectoriales analíticos complejos:

Dominio de Poincaré , dominio de Siegel, Teorema de Poincaré y Teorema de Poincaré-Dulac.

-Formas normales formales de difeomorfismos:

Dominio de Poincaré y de Siegel para difeomorfismos. Teorema de Poincaré, Teorema de Poincaré-Dulac.

-Comportamiento geométrico de las soluciones de ecuaciones diferenciales con tiempo complejo.

-Transformación de monodromía.

-Teorema de Poincaré para campos analíticos reales. Teorema de Chen para campos diferenciables (sin demostración). Teorema de Ilyashenko y Yakovenko para campos finito diferenciables (sin demostración).

-Resolución (explosión o “blow-up”) de singularidades de campos vectoriales.

- Índice de Camacho-Sad.

El temario es extenso y todo el material requerido se dará a lo largo del curso. No se requiere haber llevado Ecuaciones diferenciales II, pero si Ecuaciones Diferenciales I, Cálculo I-III y tener nociones básicas de los números complejos. En particular, conocer la función logaritmo complejo. La asistencia a clase es fundamental en tanto que el material que se verá combina distintas fuentes.

La evaluación se hará mediante exámenes y tareas.

La siguiente bibliografía puede ser de utilidad si bien es mucho más extensa de lo que se verá en el curso (en el curso sólo se verán algunos de los temas ahí incluídos). Atención, los libros son de nivel alto pero en el curso se verá todo con detalle y a ritmo adecuado para su buena comprensión. Trataremos de ir dando notas de todo lo que se vea en el curso.

-Arnold V.I. Geometrical methods in Ordinary differential equations. Springer Verlag.

-Ilyashenko, Yu.S., Yakovenko S., Lectures on Analytic Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 86, AMS, 2008.