Matemáticas (plan 1983) 2014-2

Sexto Semestre, Análisis Matemático II

Análisis Matemático II
FACULTAD DE CIENCIAS, Grupo 4161
Semestre 2014-2

Dr. Nils Ackermann
Fernando García

Temario Enero de 2014

Sitio del curso

En el curso Análisis Matemático II generalizamos y profundizamos las nociones presentadas en los cursos de Cálculo Diferencial e Integral. Particularmente, introducimos la integral de Lebesgue, que es una generalización de la integral multidimensional de Riemann a funciones definidas en subconjuntos de Rⁿ que no necesariamente son continuas.

Con esta nueva noción de integral definimos los espacios de Lebesgue y tratamos sus propiedades. En la última parte del curso introducimos funciones débilmente diferenciables y los espacios de Sobolev como herramientas para tratar ecuaciones diferenciales parciales en espacios de Hilbert.

La integral de una función continua con soporte compacto

Definición y propiedades básicas, unicidad de la integral, invariancia bajo isometrías, el teorema de cambio de variable

Funciones Lebesgue-integrables

La integral de una función semicontinua, propiedades de la integral de funciones semicontinuas, funciones Lebesgue-integrables, propiedades básicas de la integral de Lebesgue, conjuntos integrables, la integrabilidad sobre un subconjunto de Rⁿ

Teoremas fundamentales de la teoría de integración

Conjuntos nulos, el teorema de Fubini, teoremas de convergencia, la integral de funciones radiales, el teorema de cambio de variable

Los espacios de Lebesgue

Conjuntos y funciones medibles, los espacios L^p(Ω), aproximación mediante funciones suaves, un criterio de compacidad en L^p(Ω), un criterio de nulidad

Espacios de Hilbert

Conceptos y propiedades básicas, complemento ortogonal, el teorema de representación de Fréchet-Riesz, bases de Hilbert, convergencia débil

Espacios de Sobolev

Derivadas débiles, espacios de Sobolev, problemas elípticos con condición en la frontera

Encajes de Sobolev

Desigualdades de Sobolev, el teorema de Rellich-Kondrachov, valores propios del laplaciano