Matemáticas (plan 1983) 2014-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología A

Teoría de las estructuras matemáticas

Muchos de los objetos que estudiamos hoy en día dentro de las matemáticas, son conjuntos estructurados. Por ejemplo:

un conjunto y una métrica

un conjunto y una topología

un conjunto y una operación binaria con ciertas propiedades

No es de sorprender que si gran parte de la matemática se ha descrito en el lenguaje de la teoría de conjuntos aparezcan similitudes entre las distintas ramas de la matemática. Esto puede parecerse un tanto a lo que ocurrió con el álgebra, que tal vez en un inicio fué únicamente una especie de aritmética simbólica que se fué transformando hasta alcanzar la complejidad y belleza que posee hoy en día.

De forma similar, la teoría de categorías puede considerarse, en primera instancia, como el estudio de familias de conjuntos estructurados y de las funciones que preservan dichas estructuras. Este estudio resulta en definiciones y teoremas que se aplican a muchas de las ramas de las matemáticas simultáneamente, los cuales en muchos casos reciben el nombre de propiedades universales.

En este seminario estudiaremos primeramente las familias de conjuntos estructurados, o más precisamente, las categorías concretas de conjuntos estructurados.

La segunda parte del curso se adentrará en estudiar las relaciones que se pueden establecer entre las distintas categorías concretas de conjuntos estructurados, es decir, los funtores (que son una especie de funciones de una categoría en otra). Para este estudio resulta apropiado dar un segundo paso de abstracción y trabajar en las categorías abstractas.

Aquí aparecerán conceptos como el de adjunción o el de transformación natural, que hemos encontrado antes de forma aislada y que veremos son conceptos globales aplicables en casi toda la matemática.

Prerequisitos

Álgebra Lineal

Álgebra Moderna

Topología General

Bibliografía

Adámek, Jirí. Theory of Mathematical Structures. D. Reidel Publishing Company.

Notas del curso que serán subidas a la red conforme avanze el semestre.

Evaluación

Se evaluará mediante exámenes. Los problemas de los exámenes serán seleccionados de los problemas que aparecen en las notas.

Horario y salón

Lunes a Viernes de 12:00 a 13:00 en el Taller de Análisis Numérico, que se encuentra en el Tlahuizcalpan, en el entrepiso del sótano y la planta principal, al cual se accede por las escaleras que están junto al elevador.