Matemáticas (plan 1983) 2014-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Álgebra A

El objetivo de este curso es el de analizar la génesis de la Teoría de Galois. Ello nos obliga a comprender el estado de la teoría de ecuaciones hacia fines del siglo XVIII como la culminación de un proceso que se inicia a mediados del siglo XVI (Cardano) y culmina con las memorias de J.L. Lagrangesobre la solución de ecuaciones. Estos antecedentes permiten comprender el doble carácter de las mamorias de Galois, las que no sólo cierran un ciclo referente a la solubilidad de las ecuaciones, sino que abren un marco conceptual que anuncia el advenimiento del algebra moderna.

El curso de divide en tres bloques temáticos; el primero abarca desde los inicios de la teoría de ecuaciones (el problema de la solubilidad de las ecuaciones de tercer y cuarto grado), hasta la explicación de Lagrange acerca del papel de la "resolvente" en la obtención de las fórmulas de estas ecuaciones y las dificultades que aparecen para la quíntica.

En el segundo bloque se analiza primero la culminación de este camino anunciado por Lagrange y que lleva a Abel a la prueba de la imposibilidad de la solución de la ecuación quíntica por radicales. Posteriormente, dado que se trata de obras contempóraneas a las memorias de Abel, analizaremos la contribución de Cauchy y de Gauss como antecedentes importantes para el ulterior desarrollo de la teoría de Galois.

El tercer bloque se centra en el estudio de las memorias de Galois (que fueron publicadas de manera póstuma por J. Liouville en 1851) en el que se resaltará la "modernidad" de la solución de Galois al problema de la solubilidad de las ecuaciones y su inserción en un marco estructural que le permiten encontrar la correspondencia entre los subgrupos normales del grupo de Galois de una ecuación y las extensiones sucesivas entre el campo base y el campo de descomposición de la misma.

En este curso se trabajará sobre las fuentes originales, se entregarán reportes de lectura que suponen la demostración de todos los supuestos o huecos que cada uno de los auptres hayan dejado.

Salvo que aparezca otra cosa en los horarios, la reunión para fijar éste y allegarnos de un salón será del 5 al 9 de agosto a las 12 hrs. en la oficina 231 del Departamento de Matemáticas a nombre de Carlos Álvarez J.