Matemáticas (plan 1983) 2014-1

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Geometría Proyectiva

La geometría proyectiva es “el resultado de tirar a la basura el compás”. Es una geometría en donde conceptos como congruencia o paralelismo pierden significado. Quizás hayan escuchado el término punto al infinito, pues la geometría proyectiva surge (en el caso de la geometría real, que veremos no es el único) al pegarle al plano una línea especial constituida por puntos al infinito. En este curso daremos dos enfoques a esta geometría el sintético (“dibujos”) y el analítico (“ecuaciones”).

La geometría proyectiva es especialmente bella pues exhibe una simetría impresionante. El llamado principio de dualidad nos dice que cualquier teorema proyectivo (es decir, que sólo hable de incidencias) acerca de puntos, vale para las rectas (ehm, bueno, casi).

El temario será, a grandes rasgos:

1. Introducción e historia
2. El enfoque axiomático
   1. ¿Que $%&” es una teoría axiomática?
   2. Axiomas Básicos y consecuencias
   3. Ejemplos: Finitos e infinitos
   4. “Axioma” de Desargues (y compañía)
   5. “Axioma” de Pappus (y compañía)
   6. Teorema de Hessenberg (Pappus implica Desargues)
3. Geometría sintética.
   1. El “teorema fundamental de la geometría proyectiva”
   2. Transformaciones proyectivas unidimensionales (línea a línea)
   3. Transformaciones bidimensionales (líneaS a líneaS)
   4. Polaridades
   5. Cónicas
4. Geometría Analítica
   1. Coordenadas
   2. Anillos ternarios asociados
   3. De un (casi-)campo a un plano proyectivo
   4. ¿Qué nos dice el álgebra de la geometría?
   5. ¿Qué nos dice la geometría del álgebra?
   6. Automorfismos del plano proyectivo
   7. La cónica analítica
   8. Introducción a la geometría algebraica (leve, muy leve)
5. ¿Topología? Si da tiempo y gustan

El quinto tema es debatible, podemos ver otras cosas si ustedes gustan.

Ahora bien, las FAQs:

· Requisitos previos: En realidad ninguno. No obstante, familiaridad con Geometría Moderna, Álgebra Lineal (básica, a nivel matrices) sería útil.

· Evaluación: La discuten con el ayudante, mi propuesta: al menos 3 exámenes (uno por tema) y una exposición.

· Dudas envíen un correo! Juans.ojedas@gmail.com

· Bibliografía: Heyting- Introduction to axiomatic geometry; Coxeter – Introduction to projective geometry; Blumenthal- A modern view of geometry; Artículos olvidados por dios (pero bastante interesantes); Casse – Projective Geometry

Finalmente, aquí está una liga a las notas que empecé a escribir el semestre pasado, son un trabajo en proceso y faltan varias cosas. Sólo una cosa, a partir de ese decidí hacer algunas modificaciones al temario así que el orden cambiaría, algunas cosas desaparecerían y otras nuevas surgirían:

https://www.dropbox.com/s/maewhcamx5m6bto/Notas.pdf

Aquí hay varios de los materiales del curso, por si quieren echarle un ojo:

https://www.dropbox.com/sh/a5e71okf8aq0336/DZDpi3fswt