Matemáticas (plan 1983) 2014-1

Quinto Semestre, Variable Compleja I

Temario:

En este curso debemos cubrir, esencialmente, lo mismo que se ve en los dos primeros cursos de cálculo diferencial e integral, sólo que tratando con funciones de una variable compleja.

Comenzaremos repasando las propiedades algebraicas y geométricas del campo de los números complejos, C, para después hablar de funciones diferenciables en el sentido complejo (analíticas u holomorfas), lo cual desembocará en las ecuaciones de Cauchy-Riemann y en un estudio breve de relaciones (funciones multivaluadas) y superficies de Riemann asociadas con ciertas funciones holomorfas.

Posteriormente hablaremos de integración en C y qué representa la integral definida en este caso, donde nuestro intervalo de integración es una trayectoria entre dos puntos del plano euclidiano. El teorema de Cauchy es, sin duda, el resultado más importante del curso y de él desprenderemos consecuencias interesantísimas como el teorema de Morera, las fórmulas integrales del índice y de Cauchy, el celebérrimo teorema de Liouville y, como corolario de éste, el teorema fundamental del álgebra: "Todo polinomio con coeficientes complejos posee al menos una raíz en C".

En tercer lugar hablaremos de series de potencias con exponentes negativos o series de Laurent y cómo éstas se relacionan con el estudio de las singularidades de las funciones analíticas: finalizaremos con el cálculo de residuos desarrollado por Cauchy, obteniendo el valor explícito de ciertas integrales de variable real y de ciertas series (por ejemplo, la función zeta de Riemann para ciertos valores de s) y viendo las aplicaciones de esto a las integrales definidas por las transformadas inversas de Fourier y de Laplace.

Bibliografía

Nos basaremos esencialmente en dos textos, de los cuales saldrán las tareas y el material para los exámenes:

1. Lascurain, A., Notas para el curso de Variable Compleja I, Vínculos Matemáticos #3, México: Facultad de Ciencias, UNAM, 2000.
2. Remmert, R.; Theory of complex functions, GTM #122, Springer Verlag, Nueva York 1991.

Evaluación:

Se dejarán tareas semanales o quincenales que formarán el 20% de la calificación. Habrá entre 5 y 6 exámenes (los temas 2 y 3 son extensos, de modo que allí lo recomendable sería que hubiese 2 exámenes) los cuales integrarán el 70% de la calificación. El 10% restante será la participación en clase e interés de los alumnos por el curso, la asistencia a las ayudantías y los trabajos y tareas opcionales que se dejen durante el semestre.