Matemáticas (plan 1983) 2014-1

Tercer Semestre, Cálculo Diferencial e Integral III

CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

Maya Lol Sosa Salas(cienciaslol@gmail.com) yJaime Hernández López(jaimehl@ciencias.unam.mx)

Grupo:4122Semestre 2014-1

TEMARIO

1. Funciones de R en Rⁿ

1.1 Funciones de R en Rⁿ como curvas en el espacio, límites y derivadas en términos de las componentes.

1.2 La diferencial de una curva en el espacio, velocidad y el vector tangente, rapidez.

1.3 Propiedades de los límites y la derivada con respecto a la suma y el producto.

1.4 Curvas rectificables, longitud de arco, parametrización unitaria por longitud de arco, comparación de parametrizaciones.

1.5 Normal principal, curvatura, torsión y plano osculante.

1.6 Ejemplos de curvas en el plano y en el espacio.

1.7 Fórmula de Frenet-Serret (opcional).

2. Espacios normados

2.1 Espacios vectoriales, normas en Rⁿ .

3. Topología de Rⁿ y funciones de Rⁿ en R^m

3.1 Conjuntos abiertos, cerrados, frontera.

3.2 Caracterización de compactos, prueba del teorema de Heine Borel

(opcional), producto de compactos.

3.3 Conexidad y conexidad relativa.

3.4 Definición de coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.

3.5 Funciones de Rⁿ en R^m , límites y continuidad.

3.6 Teoremas de continuidad en compactos o en conexos, ejemplos.

3.7 Teorema de Bolzano-Weierstrass.

3.8 Funciones continuas en compactos.

4. Funciones de Rⁿ en R

4.1 Conjuntos de nivel y gráficas.

4.2 Diferenciabilidad, propiedades, derivadas direccionales y derivadas parciales.

4.3 Gradiente de una función, propiedades: dirección de máximo cambio, definición de puntos críticos.

4.4 Teorema del valor medio, criterio de diferenciabilidad en términos de las parciales, derivadas de orden superior, plano tangente a una superficie.

4.5 Diferenciales de orden k, aproximación por polinomios de Taylor, ejemplos.

5. Transformaciones

5.1 Matrices, determinantes, y resolución de sistemas.

5.2 Valores y vectores propios.

5.3 Formas bilineales y cuadráticas.

6. Funciones de Rⁿ en R^m

6.1 Diferenciabilidad, jacobiano, regla de la cadena, ortogonalidad del gradiente a los conjuntos de nivel.

6.2 Teoremas de la función inversa e implícita con demostraciones, ejemplos.

6.3 Teorema del rango (opcional).

6.4 Definición del operador de divergencia, Laplaciano y rotacional.

6.5 Ejemplos.

7. Máximos y mínimos

7.1 Puntos críticos, formas cuadráticas definidas positivas, diagonalización y criterios de positividad, aplicación a Hessianos para detectar máximos, mínimos y puntos silla, lema de Morse (opcional).

7.2 Máximos y mínimos con restricciones, multiplicadores de Lagrange, ejemplos.

BIBLIOGRAFÍA:

1. Apostol, T.M., Calculus. México: Ed. Reverté, 2001.

2. Bugrov Ya. S., Nikolski S.M., Matemáticas superiores, Cálculo diferencial e integral, URSS, Ed. Mir, 1980.

3. Buck, R.C., Advanced Calculus, New York: McGraw-Hill, 1978.

4. Budak, B.M., Fomin, S.V., Multiple Integrals Field Theory and Series, Moscú.

5. Courant, R., John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, México: Limusa, 1974.

6. Crowell, R., Trotter, H., Williamson, R., Cálculo de Funciones Vectoriales, Bogotá: Prentice Hall Internacional, 1973.

7. Demidovich, B., Problemas y ejercicios de análisis matemático, URSS: Editorial MIR, MOSCÚ, 1977.

8. Hasser, N.V., LaSalle J.P., Sullivan J.A., Análisis matemático México: Trillas 1970.

9. Kudriávtsev, L:D., Curso de análisis matemático, URSS: Editorial MIR, 1988.

10. Lang, S., Calculus of Several Variables, New York: Springer, 1987.

11. Marsden, J., Tromba, A., Cálculo Vectorial, México: Addison-Wesley, Pearson Educación, 1998.

12. Piskunov, N., Cálculo diferencial e integral, URSS: Editorial MIR, MOSCÚ, 1983

13. Thomas, G.B., Finney, R.L., Cálculo: varias variables, México: Adisson-Wesley, Longman, 1999.

14. Spivak, M., Cálculo en Variedades, México: Ed. Reverté, 1987.

EVALUACIÓN

4 ó 5 exámenes parciales, una tarea por cada parcial.70% exámenes parcialesy30% tareas.

Reposiciones al final del semestre, primera y segunda vuelta de final.

No se promediará con exámenes reprobados.

Más información en: http://www.calculus3.tk

Agosto 2013