Matemáticas (plan 1983) 2013-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología B

El cubo de Hilbert: Introducción a la topología de dimensión infinita.

Al igual que los cubos de dimensión finita, el cubo de Hilbert es un espacio compacto y conexo. Sin embargo, el cubo de Hilbert goza de propiedades increíbles que sólo suceden en espacios de dimensión infinita.

El objetivo de este curso consiste en estudiar la topología del cubo de Hilbert y comparar las propiedades que tiene éste espacio con las propiedades análogas de los cubos de dimensión finita. Con este pretexto, se demostrarán teoremas muy conocidos e importantes como son el teorema del punto fijo de Brouwer o el teorema de la curva de Jordan, entre otros. También se estudiarán diferentes representaciones y caracterizaciones del cubo de Hilbert, con el fin de introducir al estudiante a la topología de dimensión infinita.

Requisitos previos: se recomienda haber llevado Topología 1 o Análisis Matemático 1.

Nota: Todavía no hay horario ni salón. Si alguien está interesado en tomar este seminario, por favor envíenme un mensaje a la direción nataliajonard@gmail.com indicándome en qué horario les convendría y en qué horario definitivamente no podrían tomar el seminario. La ídea es encontrar un horario que le convenga a la mayoría de los interesados. Por el momento el horario tentativo es a las 13:00 hrs, pero esto lo definiremos democráticamente entre todos los intersados el lunes 28 a las 13:00 hrs en el cubículo 133 del departamento de matemáticas.

Temario:

1. Los cubos de dimensión finita.

1.1 El teorema de Brouwer y sus aplicaciones.

1.2 El teorema de la curva de Jordan y sus aplicaciones.

1.3 El teorema de Borsuk-Ulam y sus aplicaciones.

2. El cubo de Hilbert.

2.1 Propiedades básicas del cubo de Hilbert.

2.2 El cubo de Hilbert vs los cubos de dimensión finita.

3. Diferentes representaciones y caracterizaciones del cubo de Hilbert.

3.1 La propiedad de las celdas disjuntas y el teorema de Torunczyk.

3.2 Productos infinitos.

3.3 El cono del cubo de Hilbert.

3.4 Hiperespacios de conjuntos compactos.

3.5 Q-variedades.

Bibliografía:

T. A. Chapman, Lectures on Hilbert Cube Manifolds, C.B.M.S. Regional Conference Series in Math.. 28, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1975.

J. Matousek, Using the Borsuk-Ulam Theorem, Springer, Berlin, 2003.

J. Van Mill, Infinite-Dimensional Topology: Prerequisites and Introduction, North-Holland Math. Library 43, Amsterdam 1989.