Matemáticas (plan 1983) 2013-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Conjuntos Convexos

Conjuntos Convexos

Un subconjunto del plano es convexo si el segmento de recta determinado por cualesquiera dos de sus puntos esta contenido en el conjunto, esta definición aunque básica tiene muchas implicaciones geométricas muy interesantes. La convexidad juega un papel importante en diversas áreas de la matemática como lo es el Análisis Matemático, Geometría, Topología, etc. por sus diversas relaciones y aplicaciones dentro de estas, así pues un estudio de los conjuntos convexos es importante para la formación de alumno de la licenciatura en matemáticas. El curso esta enfocado en desarrollar, exponer y discutir los temas más clásicos de convexidad, para que el estudiante entienda la importancia de considerar la convexidad dentro de su estudio y si lo desea, mas adelante profundizar en algunos temas por su propia cuenta.

Temario

1. Conjuntos convexos y sus propiedades

1.1 Definición y propiedades

1.2 Suma y multiplicación escalar de conjuntos convexos

1.3 Envolvente convexa y combinaciones convexas

2. Topología básica de Rⁿ

2.1 Conjuntos abiertos, cerrados, acotados y compactos

2.2 Interior, cerradura y frontera

2.3 Algunas propiedades topológicas de los conjuntos convexos

3. Geometría Afín

3.1 Subespacios afines

3.2 Combinaciones afines y envolvente afin

3.3 Subconjuntos afínmente dependiente y afínmente independiente

3.4 El teorema de Caratheodory

4. Separación y soporte

4.1 Hiperplanos

4.2 Repaso de continuidad

4.3 Teoremas de separación y soporte

4.4 La proyección sobre conjuntos convexos

5. Teorema clásicos de convexidad

5.1 Puntos extremos y teorema de Krein-Milman

5.2 El teorema de Minkowski

5.3 El teorema de Helly y sus implicaciones

5.4 El teorema de Radon

6. Figuras de ancho constante

6.1 Definición del ancho de figuras en el plano

6.2 Figuras de ancho constante y sus propiedades

6.3 Normales y binormales

7. El teorema de Blaschke

7.1 La métrica de Hausdorff

7.2 El teorema de Blascke

La bibliografía del curso se dará a conocer la primera semana del curso

EVALUACION: La evaluación será mediante 3 ó 4 exámenes, los cuales se basaran en tareas previamente trabajadas, la calificación final será el promedio de los exámenes, la tareas no se entregan