Matemáticas (plan 1983) 2013-2

Segundo Semestre, Cálculo Diferencial e Integral II

Presentación

El cálculo diferencial e integral es el conjunto de herramientas matemáticas para representar cómo ocurre el cambio de una o más cantidades o magnitudes que dependen de otras. Los dos primeros cursos de esta asignatura estudian la variación de una sola magnitud (una variable dependiente) que es función de otra (la variable independiente); para hacerlo, se desarrolla y aplica el concepto fundamental del cálculo, el límite, en la construcción de las siguientes nociones esenciales:

1. Convergencia de una sucesión de números reales y, con base en ésta, la convergencia de una serie o suma con un número infinito de sumandos infinitamente pequeños.

2. Derivada de una función y(x) en un punto x₀, definida como la razón de cambio infinitesimal de y(x) respecto de x en x₀ o, equivalentemente, como el límite del cociente diferencial del incremento y(x) - y(x₀) dividido por el incremento x - x₀;

3. Integral de una función y(x) sobre un intervalo de la recta real, definida como la suma de de contribuciones infinitamente pequeñas de la forma y(x)dx, donde dx representa un incremento infinitesimal de la variable independiente en el intervalo o, equivalentemente, como el valor, acumulado continuamente a lo largo del intervalo, de una variable cuya razón de cambio infinitesimal es y(x) para cada x.

En particular, en el curso de Cálculo Diferencial e Integral II, se discuten extensamente el punto 3. y sus aplicaciones; se prueban los teoremas fundamentales que relacionan la integral con la derivada; y se aborda el estudio de las series para resolver problemas de aproximación de funciones en términos de series de potencias o de series de funciones armónicas.

Si bien es frecuente que en los libros de texto se presente primero el concepto de límite de una sucesión, luego la derivada y finalmente, la integral; el procedimiento básico para calcular integrales es mucho más antiguo y, en cierto sentido, es más simple. De hecho, hubo trabajos en los que se aplicó la idea de sumar cantidades infinitamente pequeñas al menos desde Eudoxo de Nido (408-355 a. de C.) y Arquímedes de Siracusa (287-212 a. de C.). También es parte de la tradición escolar ver las aplicaciones de la integral sólo después de haberla construido formal, deductivamente y en abstracto.

En este curso se opta por el camino, más natural, de discutir primero las aplicaciones, lo concreto y computacional para mostrar cómo surgen los conceptos generales y construirlos sólo cuando han adquirido sentido. La selección de la bibliografía y el orden en que se abordarán los temas del programa, obedecen a ese propósito y se orientan a que los estudiantes aprendan a plantear problemas cuya solución depende de ejecutar adecuadamente las técnicas y conceptos del cálculo y que los resuelvan. En este sentido, el curso es más aplicado e informal que riguroso y teórico. Por ello, el tratamiento formal de temas fundamentales del análisis matemático que los alumnos deberán aprender más adelante durante su formación en esta misma Facultad, se deja para los cursos correspondientes y, de ser necesario, se trata aquí sólo intuitivamente.

El temario es el del plan de estudios oficial y puede bajarse de la red en:

http://www.fciencias.unam.mx/estudiosProfesionales/asignaturas/0092.pdf

Observaciones

Se invita a los estudiantes a hacer sus trabajos y entregar sus tareas con el auxilio de algún sistema de cálculo simbólico como Maxima o Maple.

Evaluación

La calificación final se obtiene de la siguiente manera: si se hacen N parciales, se desdeña la calificación más baja y se promedia sobre las N-1 calificaciones restantes.

Si alguien no está conforme con la calificación que haya obtenido mediante el procedimiento anterior, podrá presentar un examen final sobre el total del material del curso. Dicho examen se aplicará en la fecha señalada en el calendario escolar para la primera vuelta.

Bibliografía básica

1. Stewart, James (1998). Cálculo. Conceptos y contextos. México. Thomson.

2. Demidóvich, B. (1988). Problemas y ejercicios de análisis matemático. México. Quinto Sol.

Bibliografía complementaria

1. Apostol, Tom M. (1992). Calculus. Volumen 1. Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal. Barcelona. Reverté.

2. Cruse, Allan B. y Millianne Granberg (1971). Lectures on Freshman Calculus. An intuitive exposition of the basic techniques for calculating with derivatives and integrals. Reading. Addison-Wesley.

3. Maplesoft. Calculus I & II. Lessons with Maple. En http://www.maplesoft.com/applications/

4. Markushevich, A. I. (1973). Áreas y logaritmos. México. Limusa-Wiley.

5. Natanson, I.P. (1977) Problemas elementales de máximo y mínimo. Suma de cantidades infinitamente pequeñas. Moscú. Mir.

6. Piskunov, N. (1977). Cálculo diferencial e integral. Tomo II. Moscú. Mir.

7. Transnational College of Lex (2008). Aventuras con Fourier. México. UNAM.

8. Courant., R & Johyn, F. Introduction to Calculus and Análysis. (1998). Springer Verlag.