Matemáticas (plan 1983) 2013-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Topología A

El curso será lunes, miércoles y viernes de 11 a 12h en algún salón del Instituto de Matemáticas, los ejercicios serán martes y jueves a la misma hora y en el mismo salón.

El objetivo del curso es estudiar los haces vectoriales para, con ellos, construir la teoría K de un espacio compacto de Hausdorff. Extenderemos la definición a espacios paracompactos. Usando potencias exteriores, definiremos las operaciones de Adams en teoría K y las utilizaremos para resolver el problema del invariante de Hopf. Éste nos permitirá estudiar estructuras multiplicativas en R^n, como las que conocemos para n = 1 (numeros reales), n = 2 (números complejos), n = 4 (cuaterniones), n = 8 (números de Cayley u octonianos), así como las estructuras multiplicativas en las esferas S^{n-1}, como las que conocemos para n = 1 (Z/2Z), n = 2 (el grupo del círculo), n = 4 (S^3 = SO(2) = matrices ortogonales de 2 x 2 y determinante = 1). Veremos exactamente qué valores de n son admisibles.

Bibliografía

TEMARIO:

1. Haces vectoriales

1.1 Definiciones básicas

1.2 Variedades de Grassmann y haces universales

1.3 Clasificación de haces de tipo finito

1.4 Clasificación de haces con base paracompacta

2. Teoría K

2.1 Construcción de Grothendieck

2.2 Definición de K(X)

2.3 Equivalencia estable de haces

2.4 Periodicidad de Bott

3. Operaciones de Adams

3.1 Definiciòn y principio de descomposiciòn

3.2 Álgebras normadas

3.3 Álgebras de división

3.4 Estructuras multiplicativas en R^n y en S^{n-1}

3.5 El invariante de Hopf

3.6 Prueba del resultado principal (Para qué valores de n, tiene R^n estructura de álgebra de división sobre R; resp. S^{n-1} estructura multiplicativa que la hace H-espacio).

Bibliografía

1. Aguilar, M; Gitler, S; Prieto, C. Algebraic topology from a homotopical viewpoint, Universitexts, Springer Verlag 2002

2. Atiyah, M. K-Theory, Advanced Book Classics, Addison Wesley 1996

3. Husemöller, D. Fibre Bundles, Third Edition, GTM, Springer Verlag 1994