Matemáticas (plan 1983) 2013-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría B

Descripcion del curso

En este curso se abordara la problemática de teselaciones 2-dimensionales, desde las perspectivas complementarias de la teoría de simetría y de la geometría cuántica. Dentro del marco conceptual de las teselaciones, se introducirán ejemplos de las estructuras algebraico-geométricas que no se pueden estudiar bien con los métodos estándares, y que nos llevan naturalmente a la extensión del concepto de espacio y de simetría, es decir espacios y grupos cuánticos, lo que es el principal enfoque de la geometría no-conmutativa. En este sentido el curso se puede ver como una introducción a las ideas de la geometría cuántica, mediante las teselaciones.

Nuestro plan es primero presentar las ideas generales y métodos principales de la teoría de teselaciones, siguiendo la exposición clásica “Tilings and Patterns”. Se verán en detalle los diversos ejemplos de las teselaciones periódicas y aperiodicas, estudiando sus propiedades algebraico-geométricas, y también haremos un recorrido por el mundo de las artes, estudiando algunas obras fuertemente vinculadas con las teselaciones.

Luego nos enfocaremos a ciertas teselaciones “irregulares” cuyo espacio de moduli es cuántico. Como ejemplo base, estudiaremos en detalle las teselaciones de Penrose y sus variaciones. Dentro de estos ejemplos se hará una introducción a la geometría cuántica, proporcionando las herramientas unificantes mediante algebras C* no-conmutativas asociadas a estas clases de teselaciones. Veremos como grupos cuánticos naturalmente aparecen en forma de simetrías de estos objetos “irregulares”. También haremos una excursión a las foliaciones y algebras C* asociadas.

Bibliografia

Selectas partes de libro "Tilings and Patterns" de Branko Grunbaum y G C Shephard. Tambien selectas partes de libro "Noncommutative Geometry" de Alain Connes.