Matemáticas (plan 1983) 2013-1

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Geometría A

¿Qué es eso del Análisis Geométrico? En términos generales, este nombre se refiere a una amplia gama de aplicaciones del análisis a diversos problemas geométricos. De manera un poco más concreta y en relación con este curso, una parte del Análisis Geométrico se refiere al estudio de algunos operadores diferenciales definidos sobre variedades diferenciables. La mayor parte de ellos son conocidos por los cursos de cálculo: el gradiente de una función, la divergencia de un campo,..., Dentro de estos operadores trabajaremos en particular con el operador laplaciano, de modo que podremos definir el concepto de función armónica sobre una variedad. Recordando también los cursos de variable compleja, sabemos que las funciones armónicas satisfacen un principio del máximo, el cual dice que una función armónica definida en un dominio del plano (es decir, una región abierta y conexa) alcanza su máximo en la frontera; o bien, si alcanza el máximo en un punto del interior del dominio, la función resulta ser constante. Podemos preguntarnos si un principio del máximo similar se puede aplicar a las variedades, así como tratar de averiguar sus implicaciones. Eso es parte de lo que haremos en este curso.

Como requisito, es más que recomendable un conocimiento de los fundamentos de la Geometría Diferencial (ver capítulo 0 del texto)

Temario

0. Conceptos básicos de la Teoría de variedades diferenciables: Variedades, subvariedades, métricas, grupos de Lie,...

1. El operador laplaciano: Definición y propiedades fundamentales.

2. Geometría de subvariedades; particularmente, teoría de subvariedades mínimas.

3. Geodésicas, campos de Jacobi, teoremas de comparación.

Bibliografía

Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis, Springer, 2011.