Matemáticas (plan 1983) 2013-1

Optativas de los Niveles V y VI, Ecuaciones Diferenciales II

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS II

Introducci´on a la Teoria Cualitativa de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Con aplicaciones a la Mec´anica, Mec´anica Celeste, Ingenier´ıa, etc.

TEMARIO

1. Teoremas de existencia/unicidad y continuidad de soluciones ante variaci´on de
condiciones iniciales y par´ametros.

2. Sistemas de Ecuaciones de primer orden: Revisi´on de sistemas lineales, flujo en
el espacio fase, clasificaci´on de puntos cr´ıticos.

3. Teoria del ´ındice en puntos cr´ıticos en el plano: Definici´on, ´ındice de una curva
cerrada y de puntos cr´ıticos, ´ındice de puntos en el infinito y descripci´on global
del flujo.

4. Orbitas periodicas en el plano: Ciclos l´ımites, critetio de Bendixson,  y !
l´ımite, teorema de Poincar´e–Bendixson, ecuaci´on de Liennard.

5. Teoria de estabilidad: Integrales de movimiento, estabilidad de Lyapunov, es-
tabilidad orbital.

6. Teoria de Floquet: Teorema de Floquet, sistemas lineales, Wronskianos y esta-
bilidad, ecuaci´on de Hill y Mathieu, lenguas de Arnold, estabilidad de ´orbitas
peri´odicas.

7. Teoria de perturbaciones: Perturbaci´on de sistemas, orden de magnitud, expansiones

solucuciones aproximadas, convergengia de soluciones, metodo de Poincare Lindstedt, osciladores no lineales e introduccion a la teoria de bifurcaciones

8. Metodo de promedios: variables rapidas y lentas y formulacion de Lagrange

9. Variedades invariantes.

Bibliograf´ıa

1. Nonlinear Differential Equation and Dynamical Systems, Ferdinand Verhulst,
University Text, Springer Verlag.

2. Differential Equations, Intruduction and Qualitative Theory, Jane Cronin, Dekker.

3. Nonlinear Ordinary Differential Equations, D.W. Jordan and P. Smith, Claren-
don Press Oxford.

4. Differential Equations and Dinamical Systems, L. Perko, Text in Applied Math-
ematics, Springer Verlag.