Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario Matemáticas Aplicadas I

Curso optativo:

SEMINARIO DE MATEMÁTICAS APLICADAS I

(Modelación matemática y Medicina)

Profesor:

Jesús López Estrada

jelpz@hotmail.com

jele@matematicas.unam.mx

Requisitos: Algebra lineal II, Ecuaciones diferenciales ordinarias I, Análisis numérico I. Deseable, aunque no indespensable: Ecuaciones diferenciales ordinarias II y Ecuaciones diferenciales parciales I.

Objetivo: Introducir al estudiante, desde el punto de vista de la Computación Científica, al desarrollo de modelos matemáticos en temas de vital interés en Medicina: Dinámica de enfermedades virales (Hepatitis C y VIH), Epidemiología (Influenzas) y dinámica de enfermedades crónico degenerativas (Prevención temprana de la Diabetes), entre otros.

%{Diagnóstico temprano de estenosis en coronarias (o Prevención temprana de infartos al miocardio).}

Calificación: Promedio general de tareas, más promedio general de examenes parciales, más promedio general de reportes de prácticas de laboratorio, más calificación de trabajo de curso (proyecto de investigación), entre cuatro.

PROGRAMA

PARTE I. Introducción a la Modelación Matemática

1. Introducción al Cómputo Científico. 1ª y 2ª semana

Objetivo: Introducir al estudiante a los aspecto básicos involuncradas en la Mode-

lación matemática desde el punto de vista de la Computación Científica (CC).

1.1 El mundo de la Computación Científica.

1.2 CC y Modelación Matemática.

1.3 Errores en la CC: de modelación, observación o medición, aproximación o

truncamiento, y de cálculo numérico en Aritmética de Punto Flotante.

1.4 Importancia del concepto de Problema Bien-planteado a la Hadamard en la CC.

1.5 Breve introducción a los Problemas inversos.

1.6 Proyecto: Cálculo de la superficie de la tierra.

Referencias:The World of Scientific Computing, Cap.1 en [GO] y Scientific

Computing, Cap.1 en [He].

2. Algunos antecedentes básicos. 3ª, 4ª y 5ª semanas

Objetivos: Repasar aspectos básicos de EDOs, estimación nolineal de parámetros y estimación de parámetros en EDO's.

2.1 Ecuaciones diferenciales de primer orden (ecuaciones de varibles separadas y homogéneas). Movimiento armónico simple y péndulo matemático.

2.2 Repaso de la teoría básica de existencia y unicidad para el problema de Cauchy de EDOs (Existencia y unicidad, dependencia continua de la solución respecto a Condiciones Iniciales y parámetros).

2.3 Estabilidad a la Lyapunov (Método de Lyapunov y Lyapunov-La Salle).

2.4 Estimación de parámetros nolineales.

2.5 A premier para la estimación de parámetros en EDO's.

Referencias: Cap. 8 en [Ba] y [EW].

3. Modelación matemática y dinámica de poblaciones. 6ª semana

Obljetivo: Introducir al estudiante a la modelación matemática en la dinámica de

poblaciones y a nociones preliminares del estudio cualitativo de las Ecuaciones

Diferenciales Ordinarias (EDO's) que tienen lugar en la dinámica -de una y dos-

poblaciones.

3.1 Modelos de Malthius y Verhulst.

3.2 Dinámica de dos poblaciones: Competencia y depredador-presa.

3.3 Proyecto: Determinación de la población de saturación en México de individuos infectados por VIH/SIDA (Una aplicación de la estimación de parámetros para la Ecuación Logística).

Referencias: Caps. 3 y 7 en [dV] y Caps 1, 5 y 7 en [Mo].

PARTE II. Dinámica de enfermedades virales.

4. Nociones básicas sobre la dinámica de enfermedades virales. 7ª semana

Objetivo: Introducir al estudiante a las nociones básicas de las enfermedades virales y respuesta inmune.

4.1 Antígenos (virus, bacterias, protozuarios y otros).

4.2 Respuesta inmune.

Bibliografía: Cap. 1 en [NM], artículos 2 y 16 en [SA], Cap. 1 en [Ma], Caps. 1, 2 y 4 en [Ak], y [Pe].

5. Dinámica de la Hpatitis C. 8ª semana

Objetivo: Introducir al estudiante a la modelación y estudio de la dinámica

de la Hepatitis C y planteamiento, por parte del sector médico, de

problemas de interés concreto.

5.1 Descubrimiento.

5.2 Aspectos básicos sobre el Virus de la Hepatitis C (VHC).

5.3 Tratamiento.

5.4 Modelo básico de tres poblaciones: su estudio cualitativo e implicaciones.

5.4 Respuesta inmune y modelos de cuatro poblaciones: su estudio

cualitativo e implicaciones.

5.5 Proyecto: Pronóstico de respuesta al tratamiento.

Bibliografía: Cap. 2 y 5 en [Mk], Cap. 5 en [NM], Cap 4 en [Ak], [AL], [AE], [AF], [PN],y [RL].

6. Dinámica de la infección por el VIH y SIDA. 9ª y 10ª semanas

Objetivo: Introducir al estudiante a la modelación y estudio de la dinámica

de la Hepatitis C y planteamiento, por parte del sector médico, de

problemas de interés concreto.

6.1 Descubrimiento.

6.2 Aspectos básicos sobre el VIH.

6.3 Tratamiento.

6.4 Modelo básico de tres y cuatro poblaciones: su estudio cualitativo e

implicaciones.

6.4 Respuesta inmune y modelos de cuatro poblaciones: su estudio

cualitativo e implicaciones.

6.5 Proyecto: Diagnóstico de daño en ganglios sin biopsias.

Bibliografía: Cap. 2, 4 y 6 en [NM], 4 y 5 en [Ak] y [PN].

PARTE III. Epidemilogía sobre Influenzas

7. Nociones básicas de Epidemiología Matemática. 11ª y 12ª semanas

Objetivo: Introducir al estudiante al estudio de posibles brotes epidemiológicos de Influenzas bajo políticas de profilácticas para su control.

7.1 Historia.

7.2 Origenes e impacto económico-social de las Influenzas.

7.3 Modelos compartamentales: Modelo de Kermack-McKendrick.

7.4 Estrategías de control epidémico (vacunación, cuarentena, aislamiento).

7.5 Epidemías estacionales.

7.6 Vacunación y tratamiento con antivirales.

7.7 Inmunidad cruzada y curentena.

7.8 Proyecto: Evaluación de la eficacia de las medidas profilápticas tomadas por las autoridades del sector salud durante la epidemia en primavera de 2009 de la influenza A/H1N1 en la Cd. de México.

Bibliografía: Caps. 2,5,12 y 13 en [BD] y [CD]

PARTE IV. Dinámica de enfermedades crónico degenerativas

8. Dinámica de la Diabetes. 13ª y 14ª semanas

Objetivo: Introdución a la endocrinología matemática.

Plan de actividades por desarrollar.

Proyecto: Detección temprana de la diabetes.

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PARTE V*. Bio-ingeniería.

9. Detección temprana de estenosis en coronarias. 15ª semana

Objetivo: Presentación de un proyecto en desartrollo de grandes repercuciones sociales y económicas.

9.1 Relevancia y planteamiento del Problema.

9.2 Desarrollo del modelo:

9.2.1 Hipótesis de modelación

9.2.2 Ecuación de continuidad para la masa

9.2.3 Ecuación de balance de momentos

9.2.4 Ecuación no-lineal de la elasticidad.

9.3 Ecuación constitutiva para biotejidos.

9.4 Condiciones iniciales y de frontera.

9.5 El problema como un problema inverso.

Bibliografía: [BB], [BL] y [BS].

PARTE VI. Exposición de trabajos de curso. 15ª y 16º semanas

Objetivo: Presentación por los estudiantes de sus trabajos de curso.

BIBLIOGRAFÍA

[Ak] Asachenkov A., Marchuk G., Mohler R., Zuev S., Disease Dynamics,

Birkhäuser, 1994.

[Ba] Bard Y., Nonlinear Parameter Estimation, AP, 1974.

[BD] Brauer F., van den Driessche P., Wu J. (Eds), Mathematical Epidemiology,

Springer, 2008.

[CD] Cruz-Pacheco G., Duran L., Esteva L., et al., Modeling of the AH1N1 Influenza

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preimpreso 2009.

[dV] de Vries G., Hillen Th., Lewis M., Müller J., Schönfisch B.,

A Course in Mathematical Biology: Quantitative Modeling with Mathematical

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SIAM, 2006.

[EW] Edsberg L., Wedin P.-A, Numerical Tools for Parameter Estimation in ODE-

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[GO] Golub G.H., Ortega J.M.,

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Numerical Methods, Academic Press, 1992.

[He] Heath M.T.,

Scientific Computing: An Introductory Survey, McGraw-Hill, N.Y.,

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[Mk] Marchuk G. I.,

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[Mo] Moler C.,

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[NM] Nowak M.A., May R.M.,

Virus dynamics: Mathematical principles of inmunology and virology,

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[SA] Intectious Disease, A Scientific American Reader,

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LITERATURA

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[AL] Alavez-Ramírez J., López-Estrada Je., Reyes-Terán G., Dinamica del virus de la

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[AF] Alavez-Ramírez J., Fuentes-Allen J.L., López-Estrada Je., Noninvasive hepatic

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[BS] Banks H.T., and Samuels J.R., Jr., Detection of Arterial Occlusions Using Visco-

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[NL] Neumann A.U., Lam N.P., Dahari H., Gretch D.R., Wiley Th.E., Layden Th.J.,

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[Pe] Perelson A.S., Modelling Viral and Immune System Dynamics, Nature

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[PN] Perelson A.S., and Nelson P.W., Mathematical Analysis of HIV-I Dynamics in

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[RL] Ribeiro R.M., Layden-Almer J., Powers K.A., Layden T.J., and Perelson, A.S.,

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BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

[AN] Ahlbom A., Norell S., Fundamentos de epidemiología, Siglo XXI,

4ª Edición, 1993.

[Qu] Quinn T., Flu: A Social History of Influenza, New Holland Publishing, UK, 2008.