Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Topología III

Homologia homotópica

El objetivo del curso es presentar la teoría de homología ordinaria desde un punto de vista homotópico. En un famoso artículo, A. Dold y R. Thom probaron un teorema que afirma que los grupos de homotopía del producto simétrico infinito de un espacio punteado son isomorfos a los grupos de homología (reducidos) con coeficientes enteros, del espacio en cuestión.

En este enfoque, reemplazaremos los productos simétricos por ciertos grupos topológicos, asociados funtorialmente a un espacio punteado y a un grupo abeliano dados, de tal modo que los grupos de homotopía de estos grupos topológicos son isomorfos a los grupos de homología (reducidos) con coeficientes en el grupo abeliano, del espacio dado.

En el curso se dará primeramente una introducción a la teoría de homotopía tradicional, necesaria para poder abordar el tema novedoso.

Temario tentativo:

1. Nociones básicas de categorías

2. La categoría de k-espacios

3. Complejos simpliciales

4. Complejos CW

5. Conjuntos simpliciales

6. Fibraciones y cofibraciones

7. Grupos de homotopía

8. Grupos topológicos de Dold-Thom

9. Homología homotópica

Seguiremos el libro [2], con el apoyo de [1] y [3].

Requisitos: Nociones de topología de conjuntos (Topología I) ver [4] o [5], nociones de teoría de grupos (Álgebra moderna I), grupo fundamental y aplicaciones cubrientes (Topología II) ver [4] o [6].

[1] M. Aguilar, S. Gitler, C. Prieto, Algebraic Topology from a Homotopical Viewpoint, Universitexts, Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin 2002.

[2] M. Aguilar, C. Prieto, Homotopical Homology and Cohomology, disponible a partir del 15 de diciembre de 2011 en libros para descargar en http://www.matem.unam.mx/cprieto 2012.

[3] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Presss, Cambridge 2002, disponible en Book projects: http://www.math.cornell.edu/~hatcher/#ATI

[4] C. Prieto, Topología básica, Fondo de Cultura Económica, México 2003, tercera reimpresión 2011

[5] C. Prieto, Basic Topology I: Elements of point-set topology, disponible en libros para descargar: http://www.matem.unam.mx/cprieto 2010.

[6] C. Prieto, Basic Topology II: Elements of homotopy theory, disponible en libros para descargar: http://www.matem.unam.mx/cprieto 2010.

EL CURSO TENDRÁ LUGAR (TENTATIVAMENTE) EN EL INSTITUTO DE MATEMÁTICAS