Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Seminario de Análisis Matemático B

Introducción.

Muchos fenómenos de la física, la ingeniería, la biología, la medicina, las finanzas, etc. se modelan mediante una ecuación diferencial, y muchos de estos modelos tienen una formulación variacional, es decir, las soluciones de la ecuación diferencial son los puntos críticos de un funcional, dado por una integral, en un espacio adecuado de funciones. Dicha integral representa alguna energía, una acción, una función de costo, etc.

Los problemas variacionales aparecen también en muchas áreas importantes de las matemáticas, por ejemplo, en la geometría riemanniana, donde las geodésicas resultan ser puntos críticos de un funcional de energía o donde problemas importantes, como el problema de Yamabe o el problema de la curvatura escalar prescrita, tienen una formulación variacional.

Para que el modelo en cuestión tenga sentido, lo primero es demostrar que tiene al menos una solución. Interesa también estudiar si la solución es única o si existen muchas de ellas, y decir algo acerca de su forma: si son funciones positivas, si cambian de signo, si tienen simetrías, etc.

Prerrequisitos.

Análisis Matemático I y Análisis Matemático II, incluyendo la integral de Lebesgue en R^n.

Temario.

1. El principio de Dirichlet.

2. El método directo.

3. Valores propios del Laplaciano.

4. Existencia de soluciones de problemas elípticos semilineales con condición de frontera.

5. Teoría de Lusternik-Schnirelmann. Multiplicidad de soluciones.

6. Compacidad por concentración. Problemas invariantes bajo traslaciones.

7. Compacidad por concentración. Problemas invariantes bajo dilataciones.

Bibliografía.

1. N. Ackermann, El lujo del flujo y teoremas minimax en el cálculo de variaciones, notas del minicurso impartido en la Escuela de Verano en Ecuaciones Diferenciales Parciales, 6-10 de Junio de 2011, Instituto de Matemáticas, UNAM. http://www.matem.unam.mx/festin2011/

2. A. Ambrosetti, A. Malchiodi, Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems, Cambridge University Press, New York 2007.

3. H. Brezis, Análisis funcional, Alianza Editorial, Madrid 1984.

4. M. Clapp, Una probadita de métodos variacionales en ecuaciones diferenciales parciales, notas del minicurso impartido en la Escuela de Verano en Ecuaciones Diferenciales Parciales, 6-10 de Junio de 2011, Instituto de Matemáticas, UNAM. http://www.matem.unam.mx/festin2011/

5. D.G. Costa, An invitation to Variational Methods in Differential Equations, Birkhäuser, Boston 2007.

6. L.C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Texts in Math. 19, Amer. Math. Soc., Providence RI 1998.

7. S. Hildebrandt, A. Tromba, The parsimonious universe. Shape and form in the natural world. Copernicus, New York 1996.

8. J. Jost, X. Li-Jost, Calculus of Variations, Cambridge University Press, New York 1998.

9. M. Struwe, Variational methods, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg 1996.

10. M. Willem, Minimax theorems, PNLDE 24, Birkhäuser 1996.