Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Geometría Algebraica I

El curso será en el salón de seminarios número 4 del instituto de matemáticas.

Geometría algebraica es un área que ha tenido un gran impacto dentro de la matemática contemporánea. Durante muchos años ha influenciado a las áreas principales de la matemática como geometría compleja, teoría de números, álgebra conmutativa, física teórica, teoría de representaciones de grupos, topología algebraica y varias más. Es un área que requiere de aprender muchas matemáticas para poder dominar el área, es decir, geometría algebraica es una especialidad con mucha profundidad en las técnicas y teorías matemáticas contemporáneas.

Este curso será una introducción a la geometría algebraica. La idea central es desarrollar muchos ejemplos y trabajar con ellos, por supuesto, no es posible separar de esto el demostrar algunos teoremas y propiedades importantes que se van desarrollando al mismo tiempo que se van presentando ejemplos. El tipo de curso y el nivel se basará en el conocimiento que los alumnos tengan. Pero siempre mantendremos la idea de ser una introducción a la geometría algebraica.

Es conveniente que el alumno haya curso álgebra moderna I, el álgebra que se se necesite se irá introducciendo durante el curso.

En principio el temario del curso sería algo del siguiente estilo:

I. Espacio proyectivo y variedades proyectivas.

1. Líneas proyectivas

2. El espacio proyectivo y líneas planas.

3. Curvas planas.

4. Variedades proyectiva.

5. Resolución de singularidades

II. Curvas algebraicas.

1. El teorema de Riemann-Roch.

2. Geometría de curvas algebraicas.

3. Curvas elípticas.

III. Superficies cúbicas.

1. Existencia de líneas en una superficie cúbica.

2. La configuración de las 27 líneas.

3. Racionalidad de las superficies cúbicas.