Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Ecuaciones Diferenciales III

El curso estará enfocado al análisis de campos vectoriales analíticos reales y complejos. En el inicio del curso se demostrarán dos teoremas fundamentales (de Poinacaré y de Poincaré-Dulac) sobre la linealización formal y analítica de campos vectoriales y difeomorfismos. Así mismo, se verá la geometría de las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales con tiempo complejo. Más adelante, se verá el proceso de desingularización de campos vectoriales (también conocida como resolución o explosión de singularidades) que permite estudiar campos vectoriales sin parte lineal.

En particular se verán los siguientes temas:

-Formas normales formales de campos vectoriales analíticos complejos:

Dominio de Poincaré , dominio de Siegel, Teorema de Poincaré y Teorema de Poincaré-Dulac.

-Formas normales formales de difeomorfismos:

Dominio de Poincaré y de Siegel para difeomorfismos. Teorema de Poincaré, Teorema de Poincaré-Dulac.

-Comportamiento geométrico de las soluciones de ecuaciones diferenciales con tiempo complejo.

- Transformación de monodromía.

-Teorema de Poincaré para campos analíticos reales. Teorema de Chen para campos diferenciables (sin demostración). Teorema de Ilyashenko y Yakovenko para campos finito diferenciables (sin demostración).

-Resolución (explosión o “blow-up”) de singularidades de campos vectoriales.

- Índice de Camacho-Sad.

El temario es extenso y todo el material requerido se dará a lo largo del curso. No se requiere haber llevado Ecuaciones diferenciales II, pero si Ecuaciones Diferenciales I, Cálculo I-IV y tener nociones básicas de los números complejos. En particular, conocer la función logaritmo complejo.

La evaluación se hará mediante exámenes y tareas.

La siguiente bibliografía puede ser de utilidad si bien es mucho más extensa de lo que se verá en el curso (en el curso sólo se verán algunos de los temas ahí incluídos). Atención, los libros son de nivel alto pero en el curso se verá todo con detalle y a ritmo adecuado para su buena comprensión.

-Arnold V.I. Geometrical methods in Ordinary differential equations. Springer Verlag.

-Ilyashenko, Yu.S., Yakovenko S., Lectures on Analytic Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 86, AMS, 2008.