Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles VII y VIII, Análisis Matemático III

Con el advenimiento de la topología general el estudio de espacios muy generales y de las transformaciones entre estos espacios tuvo un fuerte impulso. Muchos de estos conjuntos tenían no únicamente una estructura algebraica (de espacio vectorial), sino también una analítica (métrica o topológica en general), que en muchas ocasiones resultaban “compatibles”.

En las postrimerías del siglo XIX, Volterra retoma una vieja idea en la que se pensaba que el cálculo diferencial podía derivarse del cálculo algebraico por “diferencias” mediante un “proceso límite”. Volterra tomó así una ecuación integral y generó un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas que equivaldría a la ecuación integral al hacer crecer n infinitamente generando con ello un número infinito de incógnitas. Desafortunadamente los métodos del álgebra lineal no permiten el desarrollo de la teoría como la conocemos hoy; la percepción de que el concepto usual de n- ada no podía ser extendido a espacios de funciones de dimensión infinita como una mera generalización dio origen a los nuevos conceptos del análisis funcional. No fueron las ecuaciones diferenciales, sino ciertas ecuaciones integrales asociadas a ellas las que pemitieron, al considerar un mínimo de hipótesis sobre los núcleos (kernel) (Le Roux, Volterra, Fredholm), que la teoría comenzara a develarse.

En un artículo de Hilbert de 1906, este subordina la teoría muy especializada de las ecuaciones integrales simétricas al concepto mucho más general de “formas cuadráticas infinitas acotadas” estableciendo así el marco necesario para el subsecuente progreso en las ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.

Los conceptos topológicos introducidos por Fréchet y el descubrimiento de la integral de Lebesgue llevó a la concepción de los llamados espacios de Hilbert, en donde era posible discutir sobre los sistemas de ecuaciones lineales en mucha mayor generalidad.

Entre 1910 y 1913, Riesz introdujo los L^p y descubrió el importante concepto de dualidad entre dichos espacios y que era imposible de detectar en los Hilbert (pues son reflexivos), pero no detectó que dicho concepto conlleva una propiedad de extensión de una forma lineal continua definida sobre un subespacio del espacio dado, al espacio original.

En 1919, Helly generaliza la teoría de los sistemas de ecuaciones lineales de los l^p a cualquier subespacio normado de C^N .

Con el paso de la teoría a los espacios normados generada por Hahn y Banach y la extensión de la dualidad a los espacios localmente convexos en un periodo que va de 1935 a 1945, la teoría quedó firmemente establecida, habiendo intervenido en ella los espacios vectoriales topológicos, el álgebra lineal y multilineal , la teoría de la medida y la topología general.

Dos grandes vertientes se presentan: la teoría espectral y la teoría de distribuciones.

El presente curso sirve para establecer los fundamentos sobre los que descansan ambas teorías. El contenido del curso está, tal vez, un poco justificado por la anterior narración histórica que es un extracto, más o menos, del libro de Dieudonné, History of Functional Analysis. El contenido del curso podría ser los 3 o 4 primeros capítulos del Funcional Analysis de Rudin o los capítulos equivalentes del Maddox, Elements of Functional Análisis. Esto se determinará platicando con el grupo.

Saludos