Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Éste es un curso optativo para los semestres VII u VIII. Se trata de un curso especializado en algunos temas básicos del análisis armónico. Revisaremos los conceptos de ortogonalidad, ortonormalidad y expansión en series respecto de un sistema ortonormal en un espacio vectorial topológico, de donde se deriva la expansión trigonométrica clásica de Fourier. Cubriremos algunos resultados de un nivel técnico avanzado sobre las series de Fourier, los cuales no se suelen ver en los cursos de FETI o MAF, como el lema de Riemann-Lebesgue, la sumabilidad de Cesàro o el teorema de Fejér. Hablaremos de las transformaciones integrales en general y nos concentraremos en las propiedades analíticas de las dos más relevantes para el análisis clásico, que son las de Fourier y Laplace, aplicando la misma teoría básica que se desarrolló para las series de Fourier. Por último, revisaremos algunos tópicos especiales, como propiedades de las series de Fourier respecto de sistemas lineales y el cálculo de transformaciones inversas de Fourier empleando el teorema de los residuos del análisis complejo.

Los requisitos para atender el curso son los cuatro cursos de cálculo y los dos de álgebra lineal. También es deseable un conocimiento de análisis matemático a nivel introductorio, digamos, al nivel del libro Principles of mathematical analysis de W. Rudin. Igualmente, un dominio rudimentario del análisis complejo y la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias resulta muy útil (por ejemplo, como en Complex analysis de L.V. Ahlfors y An introduction to ordinary differential equations de E.A. Coddington, respectivamente).