Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Optativas de los Niveles I, II, III y IV, Geometría Moderna II

Geometría Moderna II

Introducción a la Geometría no Euclidiana

Prof. Carlos Alvarez J.

Ayudante Sara Jani Murillo

Después de haber revisado en el primer curso de Geometría las posibilidades de una geometría que se basa únicamente en los axiomas de incidencia y orden, retomaremos en este segundo curso al grupo de axiomas de congruencia, pero nos preguntaremos qué sucede si prescindimos del (mal llamado) “axioma de las paralelas”. Comenzaremos con una revisión (histórica y geométrica) acerca de lo que dice y hace el quinto postulado euclidiano (para qué quiere Euclides ese postulado en Los Elementos), para tratar de comprender por qué a lo largo de los siglos fue tanta la insistencia por demostrarlo. De ahí pasaremos al desarrollo y contenido de la geometría elíptica y la geometría hiperbólica, para terminar con el estudio de algunos “modelos” para dichas geometrías.

Temario

1.El Quinto Postulado en el contexto de Los Elementos de Euclides

2.El cuadrilátero de Saccheri y las tres hipótesis (HA, HR. HO)

3.La imposibilidad de coexistencia de las tres hipótesis

3.1.HR y la “geometría euclidiana”

3.2.HO y la “geometría elíptica”

3.3.HA y la “geometría hiperbólica”

4.Desarrollo de HO, polos y polares, inexistencia de las paralelas, suma de ángulos de un triángulo. Trigonometría.

5.Desarrollo de HA, teoría de paralelas, suma de ángulos de un triángulo. Trigonometría

6.Distintos modelos de HA y HO

Bibliografía.

A.Bolyai. Geometry of Absolute Space

B.Greenberg. Euclidean and Non Euclidean Geometry

C.Hartshorne. Geometry, Euclid and Beyond

D.Lobatchecsky. Theory of Parallels

E.Saccheri. Euclides Vindicatus

F.Somerville. Non Euclidean Geometry