Seminario sobre Enseñanza de las Matemáticas I

(Estrategias para la Resolución de Problemas)

Objetivos del curso . El Seminario de Enseñanza (Estrategias para la Resolución de Problemas) tiene los siguientes objetivos:

∙ Presentar a los estudiantes una variedad de técnicas para resolver problemas matemáticos.

∙ Retomar con una mayor profundidad temas de cursos como álgebra, combinatoria, cálculo, geometría para ver cómo se entrelazan las ideas matemáticas entre ellos.

∙ Difundir la importancia de la resolución de problemas en las matemáticas.

∙ Preparar a los estudiantes para una buena participación en concursos matemáticos universitarios.

Prerrequisitos. Es altamente recomendable, pero no indispensable, haber llevado las materias de Cálculo y de Álgebra de los primeros cuatro semestres, así como Análisis Matemático I, y tener un poco de experiencia en resolver problemas matemáticos.

Evaluación. La materia se evaluará por listas de problemas y exposiciones.

∙ Listas de problemas. Habrá listas de problemas semanales que deberán ser entregados por escrito. No se espera que los estudiantes resuelvan todos los problemas. La calificación máxima podrá ser obtenida resolviendo aproximadamente el 60% de los problemas de la lista. Estos problemas no son tan sencillos y requieren una buena dosis de trabajo e ingenio para ser resueltos.

∙ Exposiciones. Además de entregar las soluciones por escrito, de vez en cuando los estudiantes deberán pasar a contar sus soluciones frente a la clase. Se espera que expongan las soluciones de una manera clara y concisa.

Otros

∙ Se puede considerar la opción de resolver problemas de revistas internacionales como el Crux Mathematicorum. Los estudiantes podrán mandar sus soluciones para que sean consideradas para su publicación.

∙ El curso pide como requisito resolver sólo algunos de los ejercicios, pero resolver todos los ejercicios hace un curso mucho más completo y retador.

Temario

1. Héurísticas

a. Encontrar un patrón

b. Hacer un dibujo

c. Formular un problema equivalente

d. Modificar el problema

e. Escoger notación efectiva

f. Explotar la simetría

g. Dividir en casos

h. Trabajar hacia atrás

i. Argumentar por contradicción

j. Perseguir la paridad

k. Considerar casos extremos

l. Generalizar

2. Inducción y casillas

a. Inducción

b. Inducción fuerte

c. Inducción y generalización

d. Recursión

e. Principio de las casillas

3. Aritmética

a. Máximo común divisor

b. Aritmética modular

c. Factorización única

d. Aritmética de los números complejos

4. Álgebra

a. Identidades algebraicas

b. Factorización única de los polinomios

c. El teorema de la identidad

d. Álgebra abstracta

5. Series

a. Coeficientes binomiales

b. Series geométricas

c. Series telescópicas

d. Series de potencias

6. Análisis Real Intermedio

a. Continuidad y el teorema del valor intermedio

b. La derivada y el teorema del valor medio

c. El teorema del valor extremo

d. La regla de L'Hopital

e. La integral y el teorema fundamental del cálculo

7. Desigualdades

a. Propiedades básicas de las desigualdades

b. La media aritmética y la media geométrica

c. La desigualdad de Cauchy-Schwarz

d. Desigualdades usando series

e. El principio del sandwich

8. Geometría

a. Geometría plana clásica

b. Geometría analítica

c. Geometría vectorial

d. Números complejos y geometría

Bibliografía

Aigner, M., Ziegler, G, Proofs from The Book, Springer, 2002.

Bulajich, R., Gómez, J.A., Geometría. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, UNAM - Sociedad Matemática Mexicana, 2002.

Bulajich, R., Gómez, J.A., Valdez, R., Desigualdades. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, UNAM - Sociedad Matemática Mexicana, 2010.

Engel, A., Problem-Solving Strategies, Springer-Verlag, 1998.

Fomin, D., Genkin, S., Itenberg, I., Mathematical Circles, Mathematical World, Vol. 7. American Mathematical Society, 1996.

Larson, L., Problem-Solving Through Problems, Springer-Verlag, 1990.

Soberón, P. Combinatoria para Olimpiadas. Cuadernos de Olimpiadas de Matemáticas, Instituto de Matemáticas, UNAM - Sociedad Matemática Mexicana, 2010.

Tomescu, I., Problems in Combinatorics and Graph Theory, Wiley-Interscience, 1985.