Matemáticas (plan 1983) 2012-2

Cuarto Semestre, Cálculo Diferencial e Integral IV

Cálculo Diferencial e Integral IV

Cálculo IV es un curso de cálculo integral de funciones de varias variables. En él, se aprende a integral tanto funciones escalares de variable vectorial como funciones vectoriales de variable vectorial. Estás integrales se llevan a cabo tanto en regiones cartesianas en Rⁿ como en regiones que se pueden descomponer como la unión de regiones cartesianas. También se hace la composición de funciones adecuada para que dichas funciones de puedan integrar sobre curvas y superficies. La meta del curso son los llamados teoremas del cálculo vectorial y que son los de Green, Gauss y Stokes.

Todos los temas del curso serán motivados por problemas geométricos, físicos y de la teoría de la probabilidad. Los resultados formales son deducidos a partir de problemas concretos y la parte del rigor matemático tiene un papel secundario. La intención es que los estudiantes aprendan a calcular y a los fundamentos formales el cálculo no se les da mucha importancia. En este sentido, éste curso es un curso de cálculo del siglo XVIII y principios del XIX.

El curso de evaluará con cinco o seis exámenes parciales y con tareas. Al final, el estudiante obtendrá la calificación que corresponda al promedio de las calificaciones de los exámenes. Las tareas sirven para dilucidar casos limítrofes. No hay reposiciones al final del curso. Habrá, para quien lo desee, un examen final que cubre el temario entero.

Se pondrá un énfasis especial en los aspectos numéricos y computacionales del cálculo integral.

Temario

Integrales múltiples.

Principio de Cavalieri

Áreas y Volúmenes de cuerpos con sección constante

Integral de una función de dos variables.

Teorema de Fubini y cálculo de integrales múltiples

Áreas de regiones más generales.

Volúmenes e integrales triples

Transformaciones de Rⁿ a Rⁿ

Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas

El teorema del cambio de variable para integrales múltiples

El promedio de una función continua y el teorema del valor medio

Integrales de funciones escalares y vectoriales sobre curvas en forma parametrizada.

Integrales de línea sobre campos conservativos

Teorema de Green

Superficies en forma parametrizada

Vector normal y plano tangente

Integrales de funciones escalares y vectoriales sobre superficies

Divergencia, Rotacional y Laplaciano de un campo vectorial

Teorema de Gauss

Flujos a través de una superficies

Teorema de Stokes

La Ecuación de Laplace

Convergencia uniforme y series de potencias

Solución de la ecuación de calor y de onda

Bibliografía

Courant, R., John, F., Introducción al Cálculo y al Análisis Matemático, vol. 2. México:Limusa, 1974.

Lang, S., Calculus of Several Variables, New York: Springer, 1987.

Marsden, J., Tromba, A., C´lculo Vectorial, México: Addison-Wesley. 1998.

Thomas, G.B., Finney, R.L., C´lculo: Varias Variables, México: Adisson-Wesley

Stewart, Cálculo de Varias Variables. México: Cengage Learning Ediciones. 2008.