Presentación del grupo 4311 - 2012-1.

La noción de medida generaliza varios conceptos que aparecen en las más diversas ramas de la matemática, como el volumen, el conteo o la probabilidad, por mencionar algunos.

En este curso discutiremos las definiciones generales de medida, espacio de medida, σ-álgebra, etc., estudiaremos sus propiedades en profundidad, veremos algunos resultados finos, como los teoremas de descomposición y extensión de Hahn, el teorema de extensión de Carathéodory, etc., para después concentrarnos en la construcción de la medida de Lebesgue en Rⁿ mediante el concepto de medida exterior, una construcción que no siempre se presenta con suficiente detalle. En la parte final del curso abordaremos el tema de las medidas exteriores de Hausdorff y veremos cómo éstas se relacionan con un concepto importantísimo en la geometría contemporánea y en otras áreas de la matemática: la dimensión fractal.

Contenido

• Conjuntos medibles
• Medidas
• Descomposición de medidas
• Generación de medidas
• Volúmenes de celdas e intervalos
• Medida exterior
• Conjuntos medibles en Rⁿ
• Conjuntos de Borel
• Aproximación de conjuntos medibles
• Medida interior
• Aditividad y no-aditividad
• Conjutos no medibles y no borelianos
• Medidas exteriores regulares
• Medidas exteriores métrcas
• Medidas exteriores de Hausdorff
• Dimensión de Hausdorff

Los requisitos para poder atender el curso son los cuatro cursos de cálculo. Un nivel de análisis matemático equivalente al del libro Principles of mathematical analysis de Walter Rudin es deseable, pero no indispensable.

La teoría cubierta en este curso tiene relación con lo visto en otros cursos, como análisis matemático, topología y probabilidad. También tiene relación con la teoría de los sistemas dinámicos y teoría de señales.

Bibliografía básica

• R.G. Bartle. The elements of integration and Lebesgue measure.
• G.A. Edgar. Measure, topology, and fractal geometry.

Bibliografía complementaria

• H.L. Royden. Real analysis.
• E. Hewitt, K. Stromberg. Real and abstract analysis.
• K.J. Falconer. The geometry of fractal sets.
• K.J. Falconer. Fractal geometry: mathematical foundations and applications.