Presentación del grupo 8103 - 2012-1.

Matemáticas avanzadas de la física

Roberto Álvarez

ralvarez@ciencias.unam.mx

Francisco Nettel

fnettel@ciencias.unam.mx

Leonor García

gm.leonor@gmail.com

Curso: Tareas, avisos, vínculos,etc

curso.roberto.alvarez@gmail.com

Evaluación:

60 % 3 exámenes parciales (1 reposición)

40 % tareas más o menos semanales

Opcional: 1 Exposición entre 0.4-0.5 sobre la calificación final.

1 Examen oral entre 0.8-1.0 sobre la calificación final

1. Espacios vectoriales y operadores

1.1 Definición de espacios y subespacios vectoriales.

(a) Dependencia e independencia lineal.

(b) Bases. Dimensión.

(c) Producto Interno. Ortogonalidad. Norma.

(d) Ortogonalización de Gram-Schmidt.

(e) Teorema de Cauchy-Schwarz.

(f) Espacios completos. Expansión de vectores en bases.

(g) Desigualdad de Bessel y relación de Parseval.

(h) Operadores. Representación matricial.

(i) Transformaciones lineales y productos internos.

(j) Operadores normales, hermitianos, unitarios.

(k) Espacios de Hilbert.

(l) Espacios (p=2 cuadrado integrables).

(m) Valores propios y vectores propios de operadores hermitianos.

(n) Operador de Sturm-Liouville en 1-D.

2. Series de Fourier

(a) Funciones periódicas.

(b) Ortogonalidad de las funciones seno y coseno.

(c) Definición de serie de Fourier.

(d) Series de Fourier de periodos arbitrarios

(e) Convergencia de la serie de Fourier.

(f) Aproximación cuadrática media.

(g) Series de Fourier en su expresión compleja.

(h) Aplicaciones: Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.

Ecuaciones Diferenciales parciales de importancia en la física.

• Ecuación de onda.

• Ecuación de difusión.

• Ecuación de Poisson y Laplace.

• Ecuación de Helmholtz.

• Ecuación de Schrödinger.

• Condiciones de frontera: Dirichlet, Neumann y Robin.

3. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas rectangulares.

(a) Cuerdas vibrantes y la ecuación de onda 1D.

(b) Solución a la ecuación de onda: Método de separación de variables.

(c) Ecuación de propagación de calor en una dimensión.

(d) Conducción de calor en barras.

(e) Las ecuaciones bidimensionales de onda y propagación de calor.

(f) Ecuación de Laplace.

(g) Ecuación de Poisson: el método de expansión en eigenfunciones.

(h) El pozo de potencial en la mecánica cuántica. Eigenfunciones y eigenvalores.

4. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas polares y cilíndricas

(a) El operador laplaciano en coordenadas polares y cilíndricas.

(b) Vibraciones en una membrana circular: el caso simétrico. Caso general.

(c) La ecuación de Laplace en regiones circulares.

(d) La ecuación de Laplace en un cilindro.

(e) Ecuaciones de Helmohltz y Poisson.

(f) Funciones de Bessel de primera clase . Relaciones de recurrencia.

(g) Ortogonalidad.Función generatriz.

(h) Funciones de Bessel de segunda clase.

(i) Funciones de Hankel.

(j) Funciones modificadas de Bessel y

(k) Funciones de Bessel esféricas.

(l) Ecuación de Euler.

(m) Fórmulas integrales y asintóticas de las funciones de Bessel.

(n) Aplicaciones: Difracción de ondas debido a una apertura circular. Cavidades cilíndricas resonantes. Electrón en un cilindro.

5. Problemas que conducen a ecuaciones en coordenadas esféricas.

(a) El operador Laplaciano en coordenadas esféricas.

(b) Expansión multipolar y potenciales.

(c) Polinomios de Legendre.

(d) El teorema de Dirichlet con simetría.

(e) Polinomios de Legendre asociados.

(f) Los armónicos esféricos y el problema general de Dirichlet.

(g) La ecuación de Helmholtz( ecuaciones de Poisson, de onda y difusión)

(h) El átomo de hidrógeno (polinomios de Laguerre asociados).

6. Funciones especiales y otros polinomios ortogonales.

(a) Función delta de Dirac.

(b) Función gama.

(c) Función beta.

(d) Polinomios de Hermite.

(e) Polinomios de Chebyshev.

(f) Funciones hipergeométricas.

(g) Funciones de Green.

7. Transformadas de Fourier y Laplace, convolución y correlación.

(a) Transformada de Fourier .La representación integral.

(b) La transformada de Fourier del seno,coseno y exponencial.

(c) Propiedades de la transformada.

(d) Aplicaciones de la transformada de Fourier: rejillas.

(e) El método de la transformada de Laplace.

(f) Las transformaciones de Hankel y sus aplicaciones.

(g) Correlación. Teorema de la convolución.

Bibliografía básica

1. Arfken, J., 1966, Mathematical methods of physics, Academic Press, N.Y., USA.

2. Friedman, B., 1956, Principles and techniques of applied mathematics, John Wiley & Sons, USA.

3. Keener, A., 1988, Principles of applied mathematics, transformations and approximations, Addison- Wesley, USA.

4. Lebedev, N.N., 1970, Special functions and their applications, ed. Dover, N.Y., USA.

5. Weinberger, H.F., 1969, Partial differential equations, ed. Ginn Blaisdell.

6. Whithaker & Watson, 1927, A course in modern analysis, Cambridge University Press, UK.

Bibliografía complementaria

1. Asmar Nakhle 2005, Partial Differential equations with Fourier series and boundary value problems. Pearson Prentice Hall, USA.

2. Courant, R., Hilbert, D., 1989, Mathematical methods of physics, ed. Dover, N.Y., USA.

3. Jeffreys & Jeffreys, 1946, Mathematical physics, Cambridge University Press, UK.

4. Kevorkian, J., 1980, Perturbation methods in applied mathematics, ed. Springer-Verlag, Alemania.

5. Kevorkian, J., 1990, Partial differential equations, analytical solution techniques, ed. Wordsworth.