Presentación del grupo 4204 - 2012-1.

Introduccion.

La primer teoría de integración fue creada por Arquímedes en el siglo III antes de Cristo. En el siglo XVII, Newton y Leibniz desarrollaron independientemente la idea de que la integración es una operación inversa a la diferenciación aunque sin una fundamentación rigurosa. En el siglo XIX, Cauchy desarrolló rigurosamente la idea de límite y Riemann usó dicha formulación para definir lo que hoy conocemos como la integral de Riemann. Hacia finales del siglo XIX y principios del XX, era ya clara la necesidad de hallar una teoría de la integral que permitiese una mejor interacción con el intercambio de límites en las series de funciones, que fuese aplicable a una más amplia gama de funciones por necesidades teóricas, que permitiese integrar en intervalos no acotados, que fuese posible integrar en estructuras más generales que los Rⁿ, etcétera, es decir, que subsanase las limitaciones teóricas de la integral de Riemann. Muchos matemáticos trabajaban hacia esa dirección en aquellos días. En 1912, Henrie Léon Lebesgue presentó en su tesis doctoral el comienzo de la sistematización de dicha teoría (algunos resultados de aquel trabajo fueron hallados independientemente por Vitali y W. H. Young). A partir de entonces la teoría de la medida y de la integración fue desarrollada ampliamente.

En este curso comenzaremos desarrollando la integral de Lebesgue en R y posteriormente la generalizaremos. El enfoque así propuesto no obedece únicamente al hecho histórico, sino al desarrollo de la intuición a través de la motivación de las necesidades impuestas por la teoría. Por ejemplo, recordaremos las sumas de Riemann y la definición de su integral. A diferencia de este caso en donde la partción se hace en el dominio, la integral de Lebesgue da la partición en la imagen. Veremos que al establecer el análogo de las sumas de Riemann nos vemos impelidos a tener que decir cuales conjuntos tienen asignada un área. Postularemos las propiedades que una función que asigna área a subconjuntos de R debe tener (que son en realidad las propiedades que un área se espera tenga). Mostraremos que dicha función, llamada medida, no puede satisfacer simultáneamente nuestros potulados a través de un ejemplo. Argumentaremos cual es la razón por la que debilitaremos el postulado que pretendía asigna área (medida), a cualquier subconjunto de R. Definiremos lo que es una medida externa cuyo dominio será cualquier subconjunto de R y motivaremos dicha definición (que es acercarse desde fuera al área deseada). La restricción de dicha medida externa a ciertos subconjuntos de R (que tendrán una estructura algebrica llamada sigma álgebra), nos proveerán de una medida, es decir, dirá exáctamente cuales subconjuntos de R si son asequibles de asignárseles área, etcétera. Procederemos después a la definición de función integrable y a los resultados clásicos de la teoría: teorema de la convergencia dominada, de la convergencia monótona y así. Podemos después seguir uno de 3 caminos: el Rudin (Real and Complex), el Folland (Real Analysis Modern Techniques) o el Grabinski (Teoría de la Medida). Veremos los L^p y el teorema de Fubini. Al final la convergencia de series de Fourier en L² .

Evaluación.

Se harán 3 exámenes y se entregarán tareas. Cada examen tiene el 70% de la evaluación parcial y las tareas el 30%. La calificación final será el promedio de las 3 calificaciones parciales. Es indispensable tener calificación mayor o igual a 6 en cada uno de los tres exámenes parciales.

Los exámenes.

Una parte será enunciar de memoria los teoremas, definiciones, corolarios, etcétera.

Otra parte sera la resolución de 2 o 3 problemas que se hallan dejado de tarea.

Otra será 1 o 2 problemas que no sean de la tarea.

(No más de 5 preguntas incluyendo la de memoria).

Se podrán reponer 1, 2 o 3 de los parciales y sólo habrá una vuelta para ello. Dichas reposiciones serán el mismo día.

Invitación.

El conocimieto de los resultados expuestos en el curso tiene una amplia gama de aplicaciones en muchas ramas de la matemática: ecuaciones diferenciales parciales elìpticas semilineales, álgebras de Von Neumann, álgebras de operadores, espacios de Sobolev, etc, etc.. Para los físicos interesados en la mecánica cuántica o en la mecánica cuántica estadisitica, etcétera, es un curso indispensable.

Mi correo es galfroj@gmail.com y con gusto aclararé sus dudas o recibiré sus comentarios.

Saludos