Presentación del grupo 4289 - 2012-1.

Pues sí, la ...¿qué? ¿Topología? ¿Y aparte diferencial? A pesar del nombre relativamente extraño, que recordaría la mezcla del jamón y la piña, o lo continuo-sin-importar-la-forma con lo rígido-métrico, el nombre del curso no oculta grandes misterios: Se aplica los recursos del cálculo, principalmente el cálculo diferencial, al estudio de "invariantes topológicos". Para ponerlo en contexto, veamos brevemente dos ejemplos:

1. Si C es una curva plana diferenciable, cerrada y sin autointersecciones, podemos hacer algunos dibujos para convencernos que el complemento de C (en el plano) consta de dos componentes conexas, llamadas el interior y el exterior de C. Esto se llama "la versión diferenciable del teorema de la curva de Jordan". En algunos casos esta separación es evidente, pero ahora juguemos un poco. Dibujemos una de tales curvas C, suficientemente retorcida y caracoleante, como si quisiéramos diseñar un laberinto. Ahora, elijamos un punto perdido en este laberinto (bueno, más formalmente pues: Un punto en el complemento de C). ¿Cómo podemos decidir rápidamente si este punto pertenece al interior o al exterior de C?

2. Consideremos una superficie compacta (propiedad topológica, ojo) que admite una función de variable real, diferenciable y no constante (propiedad diferenciable, doble ojo). Por la compacidad, sabemos que la función debe tener al menos dos puntos críticos, aquellos donde la función alcanza su máximo y su mínimo. Pero ¿y qué más podemos decir sobre la superficie si sabemos que admite una función con exactamente dos puntos críticos? ¿Podremos decir algo sobre la forma (otra vez la onda topológica, triple ojo) de la superficie?

Buenas y malas noticias para los que lean esta presentación: En el curso daremos respuesta a la pregunta 1, pero tal vez no lleguemos a responder completamente la pregunta 2, aunque al final tendremos suficientes elementos para bosquejar la respuesta.

En el camino nos encontraremos con unos bichos interesantes, llamados variedades y funciones ambas diferenciables, que serán nuestros objetos de estudio. El principal requisito para agarrarle sabor al curso es haber terminado los cursos de cálculo, álgebra lineal y un primer curso de ecuaciones diferenciales. A pesar del nombre, no es necesario haber llevado un curso de topología, aunque como de costumbre, cualquier conocimiento adicional siempre es bueno.

La bibliografía: Usaremos principalmente dos textos, el primero es el libro Differential Topology, de Guillemin y Pollak, y el segundo son unas notas que elaboré para un curso en una Escuela de Matemáticas de América Latina y el Caribe.

Para cualquier duda o aclaración, me pueden encontrar en el cub 232 del Depto de Matemáticas, o bien me pueden escribir por correo.¡Nos vemos en el curso!