Presentación del grupo 4062 - 2012-1.

La materia

La diferencia fundamental del método analítico de estudio de la geometría con el método sintético griego se deriva de la introducción de un sistema de referencia al plano o espacio en que viven las figuras. Con él pueden describirse lugares geométricos por medio de ecuaciones y puede hacerse uso del álgebra en demostraciones. Además, al introducir el sistema de referencia se sustituyen los axiomas euclidianos con la axiomática de los números reales, de forma que a partir de ella pueden demostrarse los cinco postulados. Por tanto, un paso fundamental en la construcción del sistema de coordenadas es la identificación del sistema de números reales con una línea recta, en la que se marca un punto especial para ubicar al cero. A partir de ahí, se elige una escala, definiendo el tamaño de una unidad, y pueden ubicarse otros números reales a izquierda o derecha del cero, dependiendo de su signo.

El axioma de Cantor-Dedekind establece una correspondencia biunívoca entre los números reales y los puntos de la recta. Esto es, supone que no sólo podemos localizar a cualquier real que nos den en la recta: también podemos atribuir un número real como etiqueta a cualquier punto de ésta. Dicha correspondencia se extiende al plano utilizando dos rectas no paralelas para ubicar cualquier punto. En este caso, el cero de una y otra rectas se ubica en su intersección (el “origen” del sistema coordenado). La distancia de un punto a cada una de éstas da entonces un par de valores que permiten localizarlo. Por la misma construcción de antes, también cualquier par de valores designa un punto particular.

El par de valores con que se localiza a un punto constituye sus coordenadas para el sistema de referencia elegido. Cuando las rectas o ejes de referencia reciben un nombre, pueden escribirse ecuaciones para referirse a conjuntos de punto y es ésta la forma en que la geometría analítica define y representa formas geométricas por medio de expresiones algebraicas, o extrae información geométrica a partir de expresiones algebraicas. Este curso está dirigido a desarrollar una y otra habilidades, con un enfoque vectorial.

Este curso

En este curso se cubren todos los temas previstos en el temario oficial de la materia de la facultad, y los textos que seguimos son principalmente, pero no de forma exclusiva:

Bracho, Javier. Introducción a las geometrías, México: Fondo de Cultura Económica, 2009. Disponible en línea, aunque las versiones no son idénticas, en http://www.fisica.unam.mx/personales/rich/Site/Curso_G.A.II.html

Preston, G. C., Lovaglia, A. R. Modern Analytic Geometry, New York: Harper and Row, 1971. Publicado dentro de la Serie Vínculos Matemáticos 2006, núm 55.

Ramírez-Galarza, A. I. Geometría Analítica: Una Introducción a la Geometría, México: Las Prensas de Ciencias, 1998.

Wooton, W., Beckenbach, E. F., Fleming, F. J. Geometría Analítica Moderna, México: Publicaciones Cultural, 1985. Disponible en pdf.

El orden en que los vemos difiere un poco del temario oficial y se parece más al orden en que aparecen en el libro de Javier Bracho, con añadidos y variaciones a nuestro capricho (pero bien intencionadas).

Temario

PRELIMINARES

Proposiciones y predicados; definiciones de conjunto. Producto cruz. P-L

La recta real y su axiomática, desigualdades en los reales. P-L

El plano cartesiano. Postulados euclidianos. El espacio cartesiano. JB

• Función y relación. Dominio, codominio, imagen, gráfica. Tabulación.

• Extensión, simetría. Funciones lineales y potenciales.

• Razones y funciones trigonométricas. Identidades y gráficas.

• Intersecciones, asíntotas.

• Álgebra de funciones. Piezas clave para la graficación de f+g, cf, -f, 1/f.

• Gráfica de la composición de funciones.

• Inyectividad y suprayectividad. Función inversa: fórmula y gráfica.

• Polinomios y funciones racionales. Comportamiento al infinito y para valores “pequeños”.

• Simetrías, extensión y traza de ecuaciones sencillas que describen subconjuntos del espacio cartesiano. AIR, L

Primer Parcial (090910).

ESPACIOS VECTORIALES. RECTAS Y PLANOS.

[Vectores como clases de equivalencia de flechas con origen y destino.] P-L

Definición de espacio vectorial. El plano y espacio euclidianos como espacios vectoriales sobre los reales. JB

Ecuación paramétrica de la recta; segmento de recta. JB

Ecuación baricéntrica de la recta y división de un segmento en una razón dada (JB y P-L). Concurrencia de las medianas de un triángulo. JB

Ecuaciones paramétrica y baricéntrica del plano. JB

Definición de subespacio vectorial y ejemplos. Combinación lineal, subespacio generado, independencia lineal. JB, AIR

[Existencia de una paralela a una recta por un punto externo a ésta –quinto postulado 1. JB]

Intersección de rectas y sistema de ecuaciones lineales I. JB

Producto interior, vector ortogonal a un vector no nulo en el plano. Sistema de ecuaciones lineales II. JB

Ecuación lineal homogénea. Ortogonalidad entre vectores en Rⁿ. JB

Ecuaciones normal y funcional de la recta. JB

Intersección de rectas II. JB

[Concurrencia de las alturas de un triángulo. JB]

Ecuación normal del plano. JB

Producto cruz: definición y propiedades. JB-(cap 5)

Segundo parcial.

Norma y ángulos. JB

El círculo unitario, razones y funciones trigonométricas (JB, P-L, GS-SG).

Técnicas de graficación II.

• Modificaciones al argumento de funciones trigonométricas. GS-SG

• Funciones armónicas. AIR

Coordenadas polares. JB

Gráfica de ecuaciones polares. P-L

Ángulo entre vectores. Base, base ortonormal. JB, AIR

Producto cruz: definición y propiedades. JB-(cap 5) (ubicación temporal en el temario)

Fórmula geométrica del producto interior. JB

Distancia entre puntos y de un punto a una recta. JB

La mediatriz de un segmento de recta. Bisectrices y ecuaciones unitarias. JB

Tercer parcial.

CÓNICAS

El círculo. [Tangentes y polares. Familias de círculos]. JB, P-L

Forma canónica de la elipse, la parábola y la hipérbola (definición “aditiva”). W

Propiedades focales de las cónicas. W, K

Definición “multiplicativa” y excentricidad de las cónicas. Propiedades del foco y la directriz. W

[Esferas de Dandelin. AIR, P-L]

Transformaciones de coordenadas: rotación y traslación. W

Cónicas en polares. Ecuaciones paramétricas de curvas.

Cuarto y último parcial.

Forma de evaluación

La evaluación de su conocimiento del curso se integra a partir de cuatro evaluaciones parciales. Éstas se componen de una tarea (30%) y un examen (70%) que abarcan el material visto en cada periodo. La tarea se extrae de una o varias listas de ejercicios más amplias, en la que se señalan los que deben entregarse.

Las tareas existen con la doble intención de que la revisión constante del material en esos ejercicios les ayude a dominar el material visto en clase y de que ese trabajo previo les aporte algunos puntos para cada calificación parcial. También aprovechen que pueden preguntarle a cualquiera de las Natalias sus dudas antes del examen.

El último parcial lo aplicamos en la fecha de la primera vuelta de finales. Quienes estén conformes con su calificación resultante de los parciales no tienen que presentar más exámenes.

En la fecha de la segunda vuelta tienen posibilidad de presentar la reposición de un solo parcial o el examen final, que abarca todos los parciales. Quienes presenten reposición, sustituyen con eso tanto la calificación de la tarea como la del examen del parcial que reponen o sólo la del examen, si eso conviene a sus intereses. Quienes presenten final, sustituyen todas sus calificaciones parciales.