Presentación del grupo 4198 - 2011-2.

Análisis de Fourier I

Profesor Bernardo Vargas Cárdenas

Éste es un curso optativo para los semestres VII u VIII. Se trata de un curso especializado en algunos temas básicos del análisis armónico. Revisaremos los conceptos de ortogonalidad, ortonormalidad y expansión en series respecto de un sistema ortonormal; de ahí se deriva la expansión trigonométrica clásica de Fourier. Cubriremos algunos resultados de un nivel técnico avanzado sobre las series de Fourier, los cuales no se suelen ver en los cursos de FETI o MAF, como el lema de Riemann-Lebesgue, la sumabilidad de Cesàro o el teorema de Fejér.

Hablaremos de las transformaciones integrales en general y nos concentraremos en las dos más relevantes para el análisis clásico, que son las de Fourier y Laplace.

Por último, nos adentraremos en un par de temas fundamentales de la teoría de potenciales y de funciones armónicas, que son la función de Green y la integral de Poisson.

Los requisitos son los cuatro cursos de cálculo y los dos de álgebra lineal. También es deseable un conocimiento de análisis matemático a nivel introductorio, digamos, al nivel del libro de Walter Rudin.

Contenido

• Sistemas ortogonales de funciones
• Expansión de Fourier
• Series trigonométricas de Fourier
• Lema de Riemann-Lebesgue
• Integrales de Dirichlet
• Sumabilidad de Cesàro
• Teorema de Fejér
• Teorema de la integral de Fourier
• Transformaciones integrales
• Convoluciones
• La transformación de Laplace
• La función de Green
• La integral de Poisson

Referencias en orden alfabético

• T.M. Apostol. Mathematical analysis. Addison-Wesley.
• O.D. Kellogg. Foundations of potential theory. Dover.
• S.G. Krantz. A panorama of harmonic analysis. The Mathematical Association of America.
• E.M. Stein, R. Shakarchi. Fourier analysis: an introduction. Princeton.
• E.M. Stein, G. Weiss. Introduction to Fourier analysis on Euclidean spaces. Princeton.