Presentación del grupo 4141 - 2011-2.

Temario de Cálculo Diferencial e Integral IV (tentativo)

Integrales múltiples

1.1Area de un conjunto plano.

1.2 Integral de una función de dos variables, como volumen abajo de

una superficie y sumas de Riemann.

1.3 Propiedades de las integrales.

1.4 Conjuntos de medida cero.

1.5 Cálculo de integrales múltiples, teoremas de Fubini, integración

sobre dominios más generales.

1.6 Integrales triples y cálculo de volúmenes.

1.7 Teorema del cambio de variables e integrales en polares, cilíndricas, esféricas.

1.8 Teorema del valor medio.

1.9 Centro de masa y momentos de inercia (opcional).

1.10 Integrales impropias.

1.11 Funciones no continuas sobre conjuntos acotados.

1.12 Integrales sobre regiones no acotadas.

1.13 Convergencia uniforme, teorema de Fubini, derivación bajo la

integral.

2. Integral de línea

2.1 Integración de funciones escalares sobre curvas paramétricas, independencia de la parametrización de la curva, integrales de trayectoria.

2.2 Integrales de línea en campos vectoriales, cálculo del trabajo debido a un campo de fuerzas.

2.3 Integrales de línea en campos del tipo gradiente y campos conservativos.

2.4 Teorema de Green, aplicaciones y ejemplos.

2.5 Indíce de un campo(opcional)

3. Integral de superficie

3.1 Superficies parametrizadas, vector normal y plano tangente.

3.2 Integraci´on sobre superficies parametrizadas y cálculo de áreas.

3.3 Independencia de la parametrizaci´on.

3.4 Integración de funciones escalares y vectoriales sobre superficies

orientables.

3.5 Integrales en coordenadas curvilíneas.

4. Teoremas integrales

4.1 Teorema de la divergencia en el plano, interpretación geométrica.

4.2 Ejemplos de integrales de línea, índice de un campo sobre una

curva.

4.3 Teorema de Green, aplicación al laplaciano, conservación de masa.

4.4 Teorema de Stokes, rotacional, vorticidad.

4.5 Teorema de Gauss y Stokes en el espacio.

4.6 Flujos a través de una superficie (presión).

4.7 Identidades de Green.

4.8 Problema de Laplace, el laplaciano en distintas coordenadas.

4.9 Teorema de Stokes y aplicaciones.

4.10 Principio del máximo para la ecuación del calor.

4.11 Función de Green.

9 5. Convergencia uniforme y series de potencias

5.1 Definición y ejemplos de convergencia uniforme en una variable,

propiedades; convergencia uniforme de continuas en intervalos cerrados converge a continua, diferenciación término a término, la prueba

M de Weierstrass, ejemplos de funciones continuas que en ningún

punto son diferenciables, series de potencias, series de Taylor, intervalos de convergencia, derivación e integración término a término,

ejemplos, series de Taylor de las funciones trascendentes.

6 Optativo: Integral de Fourier

6.1 Propiedades, teorema de inversión, Lema de Riemann Lebesgues,

Parseval, convolución.

6.2 Integral de Fresnel.

6.3 Ecuación de onda con transformada de Fourier.

6.4 Transformada de Laplace.

6.5 Desigualdad de Bessel, teoremas de convergencia uniforme.

6.6 La ecuación de calor y de onda.

9 7. Optativo: Métodos numéricos en integrales múltiples

7.1 Método del trapecio y Simpson.

7.2 Cuadraturas Gaussianas.

7.3 Integración en límites arbitrarios.

7.4 Cálculo de errores.

7.5 Método de Montecarlo.

8. Optativo: Formas diferenciables

8.1 Derivada exterior, formas cerradas, formas exactas.

8.2 Cambios de variables para formas diferenciales.

8.3 Orientación de superficies.

8.4 Integrales de formas diferenciales.

8.5 Cálculo y formas diferenciales en variedades, teorema de Stokes

en variedades, elemento de volumen.

BIBLIOGRAFIA BASICA:

1.. Marsden, J., Tromba, A., C´alculo Vectorial, M´exico: Addison-Wesley, Pearson Educaci´on, 1998.

2. Apostol, T.M., Calculus, Volumen I. México: Ed. Reverté, 2001.

3. Courant, R., Differential and Integral Calculus, vol 2, New York: J. Wiley, 1936.

4. Courant, R., John, F., Introduccion al Cálculo y al Análisis Matemático, vol. 2,

México: Limusa, 1974.

5. Lang, S., Calculus of Several Variables, New York: Springer, 1987.

6. Thomas, G.B., Finney, R.L., C´alculo: Varias Variables, M´exico: Adisson-Wesley

Longman, 1999.

BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTARIA:

1. Buck, R.C., Advanced Calculus, New York: McGraw-Hill, 1978.

2. Budak, B.M., Fomin, S.V., Multiple Integrals Field Theory and Series, Mosc´u: MIR,

1973.

3. Crowell, R., Trotter, H., Williamson, R., C´alculo de Funciones Vectoriales, Bogotá:

Prentice Hall Internacional, 1973.

4. Fulks, W., Cálculo Avanzado, México: Limusa-Wiley, 1970.

5. Spivak, M., Cálculo en Variedades, México: Ed. Reverté, 1987.

6. Spivak, M., Cálculo Infinitesimal, Segunda edición. México: Ed Reverté, 1998.

7. Stein, S.K., Calculus and Analytic Geometry, New York: McGraw Hill, 1992.

8. Widder, D.V., Advanced Calculus, New York: Dover, 1989.

SUGERENCIAS DIDACTICAS: Lograr la participación activa de los alumnos